N! |P Numeri consecutivi e divisibilità

[Goldrake]

Probabilmente noto ai più:

Dati $ $N$ $ naturali consecutivi $ $k+1, k+2,...,k+N$ $ definiamo $ $P$ $ il prodotto di tutti questi $ $N$ $ numeri.
Provare che si ha
$ $N! |P$ $

Ciao!

[salva90]

soluzione che con la tdn non c'entra un fico:

$ \displaystyle\frac{(k+1)(k+2)\cdots(k+N)}{N!}=\frac{(k+N)!}{k!N!}={{k+N}\choose N} $

[Anér]

Dimostriamo che per ogni fattore primo $ p $ di $ N! $ il prodotto da $ k+1 $ a $ k+N $ ha nella fattorizzazione un esponente maggiore o uguale a quello di N!. Sia x la massima potenza di $ p $ che divide uno dei numeri da 1 a $ N $. Siano inoltre $ m_1 $ i multipli di $ p $ nell'insieme dei numeri da 1 a $ N $, siano $ m_2 $ i multipli di $ p^2 $ nell'insieme dei numeri da 1 a $ N $, e così via. Allora anche nell'insieme dei numeri da $ k+1 $ a $ k+N $ ci sono $ m_1 $ multipli di $ p $ dunque possiamo semplificare la frazione dividendo numeratore e denominatore per $ p^{m_1} $. Consideriamo ora gli $ m_2 $ multipli di $ p^2 $ compresi nell'insieme dei numeri da 1 a $ N $; anche nell'insieme dei numeri da $ k+1 $ a $ k+N $ ce ne sono almeno $ m_2 $, perciò possiamo semplificare $ p^{m_2} $, in quanto un fattore p era già stato semplificato. E così via.

[Agi_90]

soluzione che con la tdn non c'entra un fico:

$ \displaystyle\frac{(k+1)(k+2)\cdots(k+N)}{N!}=\frac{(k+N)!}{k!N!}={{k+N}\choose N} $

figata

[String]

In alternativa si può notare semplicemente che il prodotto P è applicato su N numeri consecutivi e quindi tra i fattori ci sarà almeno un multiplo di N, di N-1,....

[salva90]

In alternativa si può notare semplicemente che il prodotto P è applicato su N numeri consecutivi e quindi tra i fattori ci sarà almeno un multiplo di N, di N-1,....

non basta: cosi tu mostri che è divisibile per ogni intero tra 1 e N, e quindi per il loro minimo comune multiplo, ma non per il loro prodotto!

esempio:

$ ~1|12;~ 2|12;~ 3|12;~ 4|12 $ ma $ 4!\not| 12 $

[String]

Giusto, hai ragione...

[piever]

Generalizziamo (problema già comparso ma carino):

Siano gli $ a_i $ una sequenza di interi positivi tali che, per ogni m e n interi positivi, $ \displaystyle gcd(a_m,a_n)=a_{gcd(m,n)} $

Definiamo: $ \displaystyle f(n)= \prod_{i=1}^{n} a_i $

Dimostrare che per ogni m e n, $ f(m)f(n)|f(m+n) $

Buona fortuna!