SNS 2008/2009 problema 5
SNS 2008/2009 problema 5
Un blocco di massa $ \displaystyle M $ e velocità iniziale $ \displaystyle V_0 $ urta una particella ferma di massa $ \displaystyle m \ll M $. Questa, messa in moto, urta contro un muro, torna indietro, urta di nuovo col blocco, cambia di nuovo direzione, poi urta di nuovo contro il muro e così via. Supponendo che tutti gli urti che avvengono siano perfettamente elastici e avvengano sempre sulla stessa retta, dimostrare che il numero di urti che intercorrono tra la particella e il blocco prima dell'arresto di quest'ultimo sono $ $n \approx \frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{M}{m}}$ $.
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Questa soluzione forse non è molto olimpica (c'è un po' d'analisi), però dato che spesso questo tipo di cose all'ammissione spesso è richiesto la posto ugualmente, anche perchè è un metodo generale (derivata discreta) che può essere utile in mille situazioni.
Siano $ v_1(n),v_2(n) $ le velocità dopo l'urto n-esimo.
Noto che per la conservazione dell'energia è $ Mv_1^2(n)+mv_2^2(n)=MV_0^2, \forall n $.
Prima del prossimo urto, la massa $ m $ arriva al muro e cambia direzione della sua velocità. Quindi subito prima dell'(n+1)-esimo urto la velocità del centro di massa è $ v_{cm} (n,n+1)=\frac{Mv_1(n)-mv_2(n)}{M+m} $.
Dopo l'urto:
$ v_1(n+1)=2v_{cm} (n,n+1)-v_1 (n)= $
$ = \frac{M-m}{M+m} v_1(n)-2 \sqrt{\frac{mM}{(M+m)^2}(V_0^2 -v_1^2 (n)} $
Ora il passo fondamentale: se per ogni passo frena poco vale che
$ \frac{dv_1}{dn}=v_1(n+1)-v(n) $.
E' come se il numero di urti fosse il tempo. Nella approssimazione $ m/M<<1 $, ciò si riduce a:
$ \frac{dv}{dn}=-2\sqrt{m/M} \sqrt{V_0^2-v^2} $
Integrando una volta per separazione di variabili, cioè scrivendo $ \frac{dv}{\sqrt{V_0^2-v^2}}=-2\sqrt{m/M} dn $, e ricordando che la derivata dell'arcoseno è $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ si ha la tesi.
Ciao
Siano $ v_1(n),v_2(n) $ le velocità dopo l'urto n-esimo.
Noto che per la conservazione dell'energia è $ Mv_1^2(n)+mv_2^2(n)=MV_0^2, \forall n $.
Prima del prossimo urto, la massa $ m $ arriva al muro e cambia direzione della sua velocità. Quindi subito prima dell'(n+1)-esimo urto la velocità del centro di massa è $ v_{cm} (n,n+1)=\frac{Mv_1(n)-mv_2(n)}{M+m} $.
Dopo l'urto:
$ v_1(n+1)=2v_{cm} (n,n+1)-v_1 (n)= $
$ = \frac{M-m}{M+m} v_1(n)-2 \sqrt{\frac{mM}{(M+m)^2}(V_0^2 -v_1^2 (n)} $
Ora il passo fondamentale: se per ogni passo frena poco vale che
$ \frac{dv_1}{dn}=v_1(n+1)-v(n) $.
E' come se il numero di urti fosse il tempo. Nella approssimazione $ m/M<<1 $, ciò si riduce a:
$ \frac{dv}{dn}=-2\sqrt{m/M} \sqrt{V_0^2-v^2} $
Integrando una volta per separazione di variabili, cioè scrivendo $ \frac{dv}{\sqrt{V_0^2-v^2}}=-2\sqrt{m/M} dn $, e ricordando che la derivata dell'arcoseno è $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ si ha la tesi.
Ciao
All of physics is either impossible or trivial.
It is impossible until you understand it, and then it becomes trivial.
Live as if you were to die tomorrow.
Learn as if you were to live forever.
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Devo studiarmi bene 'sta cosa del centro di massa.. Mi suona molto utile..
Siccome il testo chiedeva "Siete capaci di dimostrare che..?" io volevo scriverci "Ma certo... che NO!" =D
Siccome il testo chiedeva "Siete capaci di dimostrare che..?" io volevo scriverci "Ma certo... che NO!" =D
Musica est exercitium aritmeticae occultum nescientis se numerari animi. (Leibniz)
La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (B. Russell)
La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (B. Russell)
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l'Apprendista_Stregone
- Messaggi: 106
- Iscritto il: 29 lug 2007, 00:41
Ah bene:non sono stato l'unico a pensarlo!Evelynn ha scritto: Siccome il testo chiedeva "Siete capaci di dimostrare che..?" io volevo scriverci "Ma certo... che NO!" =D
There's a feeling I get when I look to the west
And my spirit is crying for leaving
In my thoughts I have seen rings of smoke through the trees
And the voices of those who stand looking
And my spirit is crying for leaving
In my thoughts I have seen rings of smoke through the trees
And the voices of those who stand looking
Nel sistema del centro di massa l'urto è banale: i corpi si limitano a cambiare il verso della velocità, ma non il suo modulo. Si vede subito, infatti, che ciò soddisfa sia la cons. della quantità di moto che quella dell'energia (per Konig, se si vuol essere precisi). La formula è semplicemente questo fatto riportato nel sistema di riferimento fisso: nel sist. del c.d.m. la nuova velocità è $ -(v_1(n)-v_{cm}(n,n+1) $, a cui va aggiunta la velocità di trascinamento che è $ v_{cm}(n,n+1) $.
Ciao
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