(i) Ho 4 monete, rivolte con la stessa faccia verso l'alto. Ogni mossa consiste nel prendere 3 monete e girarle. In quante mosse al minimo posso girare tutte le monete?
(ii) Ho N monete, sempre rivolte con la stessa faccia verso l'alto. Ogni mossa consiste nel prendere k (k<N) monete e girarle. In quante mosse al minimo posso girare tutte le monete?
Generalizziamo i quiz universitari!
Re: Generalizziamo i quiz universitari!
con le 4 monete le mosse sono 4Alex89 ha scritto:(i) Ho 4 monete, rivolte con la stessa faccia verso l'alto. Ogni mossa consiste nel prendere 3 monete e girarle. In quante mosse al minimo posso girare tutte le monete?
(ii) Ho N monete, sempre rivolte con la stessa faccia verso l'alto. Ogni mossa consiste nel prendere k (k<N) monete e girarle. In quante mosse al minimo posso girare tutte le monete?
ogni volta ne giri tutte tranne una a rotazione
con n non lo so...
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exodd
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nel più picolo m tale che N|mk
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
Bè innanzitutto non è possibile girare tutte le monete per qualsiasi scelta di N e di k.
Indichiamo con m il numero di mosse necessarie per girare tutte le monete.
Ogni moneta deve essere girata un numero dispari di volte affinchè alla fine del gioco sia girata rispetto all'inizio; perciò, se N è dispari, il numero totale di volte in cui è stata girata una singola moneta è dispari. Perciò si ottiene che $ m \cdot k $ deve essere dispari, e quindi sia m che k devono essere dispari. Invece, se N è pari, almeno uno tra k ed m deve essere pari.
Perciò è impossibile girare tutte le monete un numero dispari di volte se, ad esempio, $ N=5 , k=4 $.
Questa però è solo una condizione necessaria.
Una condizione sufficiente è che $ N-k|N $, infatti in questo caso, turnando le (N-k) monete che non giri ogni mossa, riesci a girarle tutte le monete lo stesso numero di volte, in $ \frac {N}{N-k} $ mosse. Però è necessario che ogni moneta sia girata un numero dispari di volte, quindi $ \frac {N}{N-k} $ deve essere dispari.
A questo punto però non so se sia possibile trovare una formula generale... io sono riuscito solo a trovare queste due condizioni
Indichiamo con m il numero di mosse necessarie per girare tutte le monete.
Ogni moneta deve essere girata un numero dispari di volte affinchè alla fine del gioco sia girata rispetto all'inizio; perciò, se N è dispari, il numero totale di volte in cui è stata girata una singola moneta è dispari. Perciò si ottiene che $ m \cdot k $ deve essere dispari, e quindi sia m che k devono essere dispari. Invece, se N è pari, almeno uno tra k ed m deve essere pari.
Perciò è impossibile girare tutte le monete un numero dispari di volte se, ad esempio, $ N=5 , k=4 $.
Questa però è solo una condizione necessaria.
Una condizione sufficiente è che $ N-k|N $, infatti in questo caso, turnando le (N-k) monete che non giri ogni mossa, riesci a girarle tutte le monete lo stesso numero di volte, in $ \frac {N}{N-k} $ mosse. Però è necessario che ogni moneta sia girata un numero dispari di volte, quindi $ \frac {N}{N-k} $ deve essere dispari.
A questo punto però non so se sia possibile trovare una formula generale... io sono riuscito solo a trovare queste due condizioni