Luoghi geometrici

[ico1989]

Ciao a tutti

Potreste, se non vi è scocciante, indicarmi un metodo per risolvere luoghi geometrici come questo:

A(a) = {(x, y) : (a + x)(a + 1 − y) ≤ a(a + 1), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
al variare del parametro a > 0. Rappresentare geometricamente tale insieme.

Grazie mille

[gianmaria]

Pensavo “Mai visto niente di simile: è fuori dalla mia portata”, poi mi è venuto il lampo “Ma se significa questo, è facile!”. Lascio ad altri la soluzione e mi limito a quello che, secondo me, è il significato del testo: fissato un certo a > 0, occorre trovare i punti del piano con coordinate soddisfacenti alla disequazione e alle limitazioni date; dire poi come varia la figura al variare di a in campo positivo.

[pak-man]

Esatto, si tratta proprio come cambia il grafico della disequazione -in questo caso $ y\ge\frac{x(a+1)}{x+a} $- al variare di $ a\in\mathbb{R}^+ $ e con $ x,y\in[0,1] $. A te ora il compito di finire l'esercizio!

[gianmaria]

Decifrato il testo, l’esercizio mi sembra banale; comunque, poiché la parole di Pak-man sono una mezza sfida, lo completo.
Le limitazioni dicono di considerare il quadrato di vertici O(0,0), A(1,0), B(0,1), C(1,1). Passiamo alla disequazione: ponendo un uguale fra i suoi membri si ottiene un’equazione del tipo (ax+b)(cy+d) = k con a, c $ \neq $ 0 e quindi si tratta di un’iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi; nel nostro caso hanno equazione x = -a, y = a+1. Notiamo poi che l’iperbole passa per O e C e che il suo centro soddisfa alla disequazione (il primo membro si annulla e il secondo è positivo); quest’ultima è quindi verificata in tutta la parte di piano delimitata dall’iperbole e contenente il centro; l’intersezione di questa soluzione con il quadrato è il triangoloide OAC.
Facciamo ora variare a da 0 ad infinito, dopo aver riscritto l’equazione nella forma a(x-y)+x(1-y)=0: per a = 0 l’iperbole degenera in due rette e quindi la soluzione è data dai segmenti OA, AC; per a infinito si ottiene invece y = x e la soluzione è il triangolo OAC. Al variare di a si passa dall’una all’altra di queste situazioni, entrambe escluse.
Completo considerando anche il caso di a negativo.
Per -1<a<0 gli asintoti attraversano il quadrato, quindi O e C appartengono a due rami distinti; il centro non soddisfa la disequazione (il cui secondo membro è negativo) e di conseguenza la soluzione è data dai soli punti O e C.
Per a < -1 si ha piena analogia col primo caso; la soluzione è il triangoloide OBC e varia da una coppia di segmenti al triangolo OBC.