derivabilità di cos^sen in pi/2 -

[jordan]

Sia $ f(x)=\cos(x)^{\sin{x}} $.

Trovare il limite da sinistra in $ \frac{\pi}{2} $ di $ \frac{\delta f}{\delta x} $

[SkZ]

-1?

molto carino
consiglio porre $ $x=\frac{\pi}{2}-\epsilon $ e poi ricordare che $ $0^+\ln{0^+}=0^- $ (scusate la brevita')

[SkZ]

qualcuno ha osato usare l'Hopital. Meglio dare un'idea prima che riesca a suicidarsi

poniamo $ $x=\frac{\pi}{2}-t $
ergo
$ $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}^-}\cos{x}^{\sin{x}}\left(\cos{x}\ln{\cos{x}-\frac{\sin^2{x}}{\cos{x}}}\right)= $$ $\lim_{t\rightarrow0^+}\sin{t}^{\cos{t}}\left(\sin{t}\ln{\sin{t}-\frac{\cos^2{t}}{\sin{t}}}\right) $

Noi sappiamo che per $ ~a>0 $ $ $\lim_{\xi\rightarrow0^+}\xi^a\ln{\xi}=0^- $

Dei termini tra le parentesi, il primo si annulla l'altro diverge asintoticamente all'inverso del seno, ergo
$ $\simeq\lim_{t\rightarrow0^+}-\frac{\sin{t}^{\cos{t}}}{\sin{t}}=\lim_{t\rightarrow0^+}-\sin{t}^{\cos{t}-1} $$ $=\lim_{t\rightarrow0^+}-\exp{\big[(\cos{t}-1)\ln{\sin{t}}\big]} $
dato che a me non garbano sempre gli sviluppi (a volte non sono convenienti)
$ $=\lim_{t\rightarrow0^+}-\exp{\left[-\frac{(1-\cos^2{t})\ln{\sin{t}}}{1+\cos{t}}\right]} $$ $=\lim_{t\rightarrow0^+}-\exp{\left[-\frac{\sin^2{t}\ln{\sin{t}}}{1+\cos{t}}\right]} $
riusiamo il limite solito e
$ $=\lim_{t\rightarrow0^+}-\exp{0^+}=-1^- $