Disuguaglianza con \pi

[Haile]

Premettendo che non conosco la soluzione;

prove that

$ $ \bigg(1 + \frac{1}{\pi} \bigg)^{\pi + 1} < \pi$ $

[Davide90]

$ $ \displaystile \left( \frac{ \pi +1}{\pi} \right) ^{\pi + 1} < \pi $
$ $ \displaystile \frac { (\pi +1)^{\pi +1} }{ \pi ^{\pi +1}} <\pi $
$ $ (\pi + 1)^ {\pi + 1} < \pi ^ {\pi + 2} $
Può servire

[exodd]

non credo comunque che faccia parte del tdn quest'esercizio...

[Haile]

non credo comunque che faccia parte del tdn quest'esercizio...

Infatti volevo postare il MnE, però non ero sicuro.

Se qualche MOD vuole mandarlo di là...

[Anér]

$ $ \displaystile \left( \frac{ \pi +1}{\pi} \right) ^{\pi + 1} < \pi $
$ $ \displaystile \frac { (\pi +1)^{\pi +1} }{ \pi ^{\pi +1}} <\pi $
$ $ (\pi + 1)^ {\pi + 1} < \pi ^ {\pi + 2} $
Può servire

Certo, a questo punto si fanno i calcoli e la disuguaglianza risulta!

[Haile]

$ $ \displaystile \left( \frac{ \pi +1}{\pi} \right) ^{\pi + 1} < \pi $
$ $ \displaystile \frac { (\pi +1)^{\pi +1} }{ \pi ^{\pi +1}} <\pi $
$ $ (\pi + 1)^ {\pi + 1} < \pi ^ {\pi + 2} $
Può servire

Certo, a questo punto si fanno i calcoli e la disuguaglianza risulta!

Quali calcoli? Potresti riportarli?

[pak-man]

$ (1+\frac{1}{\pi})^{\pi+1}<\pi $
$ (\pi+1)^{\pi+1}<\pi^{\pi+2} $
Poniamo $ \pi+1=x $ e sostituiamo:
$ x^x<(x-1)^{x+1} $
$ x^x< x^{x+1}+\ldots+(-1)^{x+1} $
e poiché x è maggiore di 1 è verificata.

Mi sembra troppo semplice come soluzione, spero di non aver scritto cavolate - soprattutto nell'espansione di $ (x-1)^{x+1} $...

[SkZ]

$ $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n-k} $ per $ ~n\in\mathbb{N} $
dato che abbiamo reali, mi sa che qui bisogna andare casomai di sviluppo in serie di Taylor, in caso portando fuori $ ~\pi $

lo sviluppo e' simile. Posto
$ $\binom{a}{n}=\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!} $
per $ ~|x|<1 $
$ $(1+x)^a=\sum_{n=0}^\infty \binom{a}{n}x^k $

edit: a conti fatti
$ $(x+1)^{x+1}<x^{x+2} $ vale per $ ~x>3.14104\dots $

mi sa che si sta prima a dimostrarlo con la colcolatrice

[pic88]

$ x^x<(x-1)^{x+1} $
$ x^x< x^{x+1}+\ldots+(-1)^{x+1} $
e poiché x è maggiore di 1 è verificata.

x=2>1 implica quindi 4<1 ?

Il problema è che stai usando $ x=\pi +1 $, è difficile che per risolvere sia sufficiente osservare che x>1. Fosse stato >4, almeno...

Comunque il problema è anche nello sviluppo del binomio.. cosa metteresti al posto dei puntini?

[SkZ]

la strada e' sostanzialmente una, senza usare la calcolatrice
$ ~f(x)>0 $ con f continua, allora trovo $ ~a,b: x\in]a;b[ $ con f monotona in quell'intervallo e $ ~f(a)>0\land f(b)>0 $
e sue varianti (quale la minorazione)

c'e' una generalizzazione della diseguaglianza di bernoulli per esponenti reali?

[pak-man]

Fosse stato >4, almeno...

Il fatto che sia maggiore di 1 implica che $ x^{x+1}>x^x $ (sarebbe stato il contrario con 0<x<1)

Comunque il problema è anche nello sviluppo del binomio.. cosa metteresti al posto dei puntini?

infatti il dubbio che avevo era proprio questo, visto che x in questo caso non è intero... ho messo i puntini apposta, sperando che la cosa funzionasse comunque

[g(n)]

Il fatto è che anche se fosse stato intero ci sarebbero stati dei problemi. Infatti al posto dei puntini sarebbero comparsi anche dei segni meno...

[fph]

c'e' una generalizzazione della diseguaglianza di bernoulli per esponenti reali?

La disuguaglianza di Bernoulli funziona per tutti gli esponenti reali maggiori o uguali a -1.

[Haile]

c'e' una generalizzazione della diseguaglianza di bernoulli per esponenti reali?

EDIT.

niente, errore mio.

[SkZ]

grazie. E' che compare sempre con esponente naturale.
Intanto mi ero messo a studiarmi analiticamente quando era valida e
$ $(1+\alpha x)\leq(1+x)^\alpha $
mi risulta valida per x>-1 ed esponenti $ $\alpha\leq 0 \lor \alpha \geq1 $

posto $ ~\xi=1+x>0 $, si ha
$ $f(\alpha)=\xi^\alpha-1-(\xi-1)\alpha\geq0 $
f e' convessa e si vede facilmente che si annulla in 0 e 1, valori tra cui giace l'unico minimo

Haile, dove l'hai trovato?