Tre circonferenze e assi radicali

[Anér]

Siano $ \Gamma_A $, $ \Gamma_B $ e $ \Gamma_C $ tre circonferenze di centri $ O_A $, $ O_B $ e $ O_C $. Si sa che $ O_A $ sta sull'asse radicale di $ \Gamma_B $ e $ \Gamma_C $, e che $ O_B $ sta sull'asse radicale di $ \Gamma_A $ e $ \Gamma_C $. Dimostrare che anche $ O_C $ sta sull'asse radicale di $ \Gamma_A $ e $ \Gamma_B $. Dimostrare che se $ \Gamma_A $, $ \Gamma_B $ e $ \Gamma_C $ sono le tre circonferenze exinscritte a un triangolo, allora quel triangolo è equilatero.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

gli assi radicali concorrono nel centro radicale. Se 2 passano per Oa e Ob allora sono altezze e allora il centro radicale è l'ortocentro di OaObOc indi l'altro asse radicale è altezza e passa per Oc. se sono crf exinscritte come noto gli assi radicali sono le bisettrici del triangolo mediale che quindi coincidono con le bisettrici di ABC e quindi il piede della bisettrice di ogni angolo è il punto medio del suo lato opposto, ovvero a=b=c

[Anér]

Effettivamente questo problema è più semplice di quanto mi aspettavo; io avevo avevo previsto una soluzione con più calcoli, sfruttando il fatto che la potenza di un punto P rispetto a una crf di centro O e raggio R è $ OP^2-R^2 $.