complessi iraniani

[jordan]

Sapendo che le radici di $ p(x)=x^2+px+q^2, p(x) \in \mathbb{C}[X] $ hanno la stessa norma, è vero che $ \frac{p}{q} \in \mathbb{R} $ ?


[Se i mod lo ritengono necessario possono spostarlo anche in mne, lho messo qui data la fonte..]

[andreac]

Secondo me, no.

Vediamo se ho capito:

Se le radici hanno la stessa norma, allora saranno:

$ x_1=re^{it} $
$ x_2 = re^{iu} $

in coordinate polari, ed essendo r la norma.

Quindi l'equazione può essere riscritta come:

$ x^2 + px +q^2 = (x-re^{it})(x-re^{iu}) = x^2 + x(-re^{it}-re^{iu}) + r^2e^{i(t+u)} $

Da cui:

$ p=-r(e^{it}+e^{iu}) $
$ q=re^{i(t+u)/2} $

Facendone il rapporto e riscrivendo gli esponenziali in seno e coseno

$ \frac{p}{q} = -\frac{(cos(t)+cos(u))+i(sen(t)+sen(u))}{cos(\frac{t+u}{2})+isen(\frac{t+u}{2})} $

E volendo che sia in $ \mathbb{R} $ dobbiamo annullare le parti Im

Ovvero
$ sen(t) + sen(u) = 0 $
$ sen(\frac{t+u}{2}) = 0 $

Dalla seconda otteniamo
$ u=2k\pi-t $

e sostituendo nella prima
$ sen(t)+sen(2k\pi-t) = 0 => sen(t) + cos(t) = 0 => t = (k+\frac{3}{4})\pi $

e di conseguenza:

$ u = (k-\frac{3}{4})\pi $

E quindi solo per determinati valori si verifica quanto richiesto. Oppure mi sono perso, con alta probabilità, qualcosa?

[jordan]

Facendone il rapporto e riscrivendo gli esponenziali in seno e coseno

$ \frac{p}{q} = -\frac{(cos(t)+cos(u))+i(sen(t)+sen(u))}{cos(\frac{t+u}{2})+isen(\frac{t+u}{2})} $

E volendo che sia in $ \mathbb{R} $ dobbiamo annullare le parti Im

Ovvero
$ sen(t) + sen(u) = 0 $
$ sen(\frac{t+u}{2}) = 0 $

Mmm, allora secondo te $ \frac{4+2i}{2+i} \not \in \mathbb{R} $ ?
A te la conclusione..

[andreac]

...e ci avresti anche perfettamente ragione, per cui, riprendendo da quel rapporto

$ \frac{p}{q} = -\frac{(cos(t)+cos(u))+i(sen(t)+sen(u))}{cos(\frac{t+u}{2})+isen(\frac{t+u}{2})} $

E sbarazzandoci del denominatore complesso, otteniamo

$ \frac{p}{q}=-(cos(t) + cos(u) + i (sin(t) + sin(u)))(cos(\frac{t + u}{2}) - i sin(\frac{t + u}{2})) $

che si semplifica in (fatene voi la verifica, a me son venuti i conati sulla carta)
$ \frac{p}{q}=-2 cos(\frac{t}{2} - \frac{u}{2}) $

Da cui si conclude che effettivamente il rapporto è sempre in $ \mathbb{R} $

[jordan]

..fatene voi la verifica, a me son venuti i conati sulla carta..

ok,adesso guarda questa, ricordando che dato che hanno lo stesso modulo vale $ \alpha_1 \overline{\alpha_1} = \alpha_2 \overline{\alpha_2}= |\alpha|^2 $:

$ \overline{(\frac{p}{q})}=\frac{\overline{p}}{\overline{q}}= $$ \frac{-\overline{(\alpha_1+\alpha_2)}}{\sqrt{\overline{\alpha_1\alpha_2}}}= $$ -\frac{\overline{\alpha_1}+\overline{\alpha_2}}{\sqrt{\overline{\alpha_1}\overline{\alpha_2}}}= $$ -\frac{\overline{\alpha_2}(1+\frac{\alpha_2}{\alpha_1})}{\overline{\alpha_2}\sqrt{\frac{\alpha_2}{\alpha_1}}}} $$ =-\frac{\alpha_1+\alpha_2}{\sqrt{\alpha_1\alpha_2}}=\frac{p}{q} $$ \implies \frac{p}{q} \in \mathbb{R} $

[SkZ]

$ \frac{p}{q}=-(cos(t) + cos(u) + i (sin(t) + sin(u)))(cos(\frac{t + u}{2}) - i sin(\frac{t + u}{2})) $

che si semplifica in (fatene voi la verifica, a me son venuti i conati sulla carta)
$ \frac{p}{q}=-2 cos(\frac{t}{2} - \frac{u}{2}) $

Da cui si conclude che effettivamente il rapporto è sempre in $ \mathbb{R} $

Beh se ti tenevi gli esponenziali era meglio
$ $\frac{p}{q}=-\frac{e^{it}+e^{iu}}{\exp{\left(i\frac{t+u}{2}}\right)} $$ $=-(e^{it}+e^{iu})\exp{\left(-i\frac{t+u}{2}\right)}=-\exp{\left(i\frac{t-u}{2}\right)}-\exp{\left(-i\frac{t-u}{2}\right)}=-2\cos{\left(\frac{t-u}{2}\right)} $

[andreac]

Godo nella mia bulimia: le soluzioni che fanno vomitare sono sempre quelle che mi salgono per prime.

[SkZ]

Don't worry!
Imparerai col tempo a tenere a preno la ... bulimia