Problema 1)
Descrivere tutti gli omomorfismi di Z in se. Di ciascuno, dire se è iniettivo o suriettivo.
Problema 2)
Siano a, b due omomorfismi di G in K.
L'insieme H=(x appartenenti a G tali che a(x)=b(x) ) è un sottogruppo?
Buon divertimento....
JFNJj
Algebra
Dal testo deduco che parli del gruppo $ (Z,+) $
Problema 1)
Tutti e soli gli omomorfismi di $ Z $ in $ Z $ sono le applicazioni del tipo $ f(a)=ma, m \in Z $ infatti:
$ f(a+b)=m(a+b)=ma+mb=f(a)+f(b) $
ed inoltre, se f è un omomorfismo
$ f(1) \in Z, f(n)=nf(1) $
da cui la tesi.
L'applicazione è suriettiva se e solo se $ a=1 $ ed è iniettiva se e solo se $ a \not= 0 $
Problema 2)
Si, in quanto sono verificate le condizioni caratterizzanti di un sottogruppo:
a) $ x,y \in H $ implica $ xy \in H $ in quanto $ a(xy)=a(x)a(y)=b(x)b(y)=b(xy) $
b) l'elemento neutro $ e \in H $ in quanto $ a(e)=e=b(e) $
c) $ x \in H $ implica $ x^{-1} \in H $ in quanto $ a(x^{-1})=a(x)^{-1}=b(x)^{-1}=b(x^{-1}) $
Problema 1)
Tutti e soli gli omomorfismi di $ Z $ in $ Z $ sono le applicazioni del tipo $ f(a)=ma, m \in Z $ infatti:
$ f(a+b)=m(a+b)=ma+mb=f(a)+f(b) $
ed inoltre, se f è un omomorfismo
$ f(1) \in Z, f(n)=nf(1) $
da cui la tesi.
L'applicazione è suriettiva se e solo se $ a=1 $ ed è iniettiva se e solo se $ a \not= 0 $
Problema 2)
Si, in quanto sono verificate le condizioni caratterizzanti di un sottogruppo:
a) $ x,y \in H $ implica $ xy \in H $ in quanto $ a(xy)=a(x)a(y)=b(x)b(y)=b(xy) $
b) l'elemento neutro $ e \in H $ in quanto $ a(e)=e=b(e) $
c) $ x \in H $ implica $ x^{-1} \in H $ in quanto $ a(x^{-1})=a(x)^{-1}=b(x)^{-1}=b(x^{-1}) $
"Sono il sig.Wolf, risolvo problemi."