Dato n maggiore o uguale a 2: siano $ a_1.....a_n $ naturali tali che $ 2^{a_i}-1 \equiv 0 \pmod {a_{i+1}} $ (si legga n+1 mod n). Provare che $ a_i=1 $ per ogni i in (1.....n).
Buon lavoro
ciaociao!
p.s:Imo long list 1985
Ciclo
Perchè?Cos'è che non va? ah cmq con n+1 modn intendevo che con n si chiude il ciclo e 2^a_n-1 è multiplo di a_1....
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
Ora è chiaro.
Tutti gli $ a_i $ sono dispari.
Sia $ p $ il più piccolo primo che divide $ \prod{a_i} $ e wlog $ p \mid a_1 $. Allora $ p \mid 2^{a_2}-1 $ e $ p \mid 2^{p-1}-1 $, per cui $ p \mid (2^{a_2}-1,2^{p-1}-1)=2^{(a_2,p-1)}-1 $. Ma $ a_2 $ non ha divisori primi più piccoli di $ p $ per ipotesi, da cui $ a_i=1 $ per ogni $ 1 \le i \le n $.
Sia $ p $ il più piccolo primo che divide $ \prod{a_i} $ e wlog $ p \mid a_1 $. Allora $ p \mid 2^{a_2}-1 $ e $ p \mid 2^{p-1}-1 $, per cui $ p \mid (2^{a_2}-1,2^{p-1}-1)=2^{(a_2,p-1)}-1 $. Ma $ a_2 $ non ha divisori primi più piccoli di $ p $ per ipotesi, da cui $ a_i=1 $ per ogni $ 1 \le i \le n $.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
: mi spieghereste qual'è la differenza quando si parla di short list e long list degli IMO? Se non ho capito male la prima è la lista dei problemi che vengono assegnati, l'altra è quella dei candidati.. E' possibile? Grazie mille!