Sempre piu piccoli..

[jordan]

Sia $ \epsilon $ una radice primitiva $ n $-esima dell'unità e $ z \in \mathbb{C} $ tale che $ |z-\epsilon^k| \le 1, \forall k \in [0,n-1] $.

Cosa possiamo dire di $ z $ ?

[SkZ]

dato che $ $|\epsilon^k|=1 $, e' lineare il seguito

cmq, volendo e' olimpionico. Di sicuro puo' stare in Geometria.


Edit: causa autore rimasto male, puntualizzo che il quesito e' molto carino. E messo in modo algebrico e' carognoso
sistemato meglio.

[julio14]

Dovrebbe essere l'intersezione dei cerchi con centri nei vertici dell'n-agono regolare con centro nell'origine e un vertice su 1, quindi z=0. (ma mi sembra troppo semplice... probabile che abbia fatto qualche cavolata)

[Davide90]

Anch'io direi $ z =0 $ ...
Sia per il motivo geometrico che hai detto tu, sia algebricamente (correggetemi se sbaglio): per la disuguaglianza triangolare
$ \displaystile |z- \epsilon^k| \le |z| + |- \epsilon^k| \le 1 $
Come ha detto Skz, $ | \epsilon^k | = 1 $ , perciò $ |z| +1 \le 1 \rightarrow |z| \le 0 $ , ma poichè il modulo di un vettore è sempre maggiore o uguale a 0, $ z $ è il vettore nullo.
Forse algebricamente va puntualizzato meglio, comunque l'interpretazione geometrica è la più interessante

[SkZ]

e' fuorviante se pensato algebricamente. se lo osservi geometricamente e' piu' semplice

$ $|z-\epsilon^k|=|\epsilon^k-z| \le 1 $
ovvero opero una traslazione delle coordinate ponendo z come origine degli assi. Quello che voglio e' che nel nuovo sistema (con z origine) le $ $\epsilon^k $ abbiano modulo 1, ma dato che hanno gia' modulo 1 e sono distribuite "abbastanza uniformemente" attorno all'origine, allora z deve essere l'origine degli assi (0,0).

In generale le $ $\epsilon^k $ sono i vertici di un n-gono. per n abbastanza grande possimao considerare direttamente la circonferenza unitaria.
per n=2, abbiamo 1 e -1: che numero dista al massimo 1 da questi 2 punti?

Inoltre la specifica $ $\forall k \in [0,n-1] $ aiuta a confondere, dato che $ $\epsilon^k\equiv \epsilon^{k+n} $, quindi in verita' non e' una limitazione (e non sarebbe la prima volta che vengono aggiunte false limitazioni).

[jordan]

Ciao julio! si, è semplice come dici se la vedi cosi (che è sostanzialmente la stessa cosa che dice Skz)

[...] sia algebricamente (correggetemi se sbaglio): per la disuguaglianza triangolare
$ \displaystile |z- \epsilon^k| \le |z| + |- \epsilon^k| \le 1 $
Come ha detto Skz, $ | \epsilon^k | = 1 $ , perciò $ |z| +1 \le 1 \rightarrow |z| \le 0 $ , ma poichè il modulo di un vettore è sempre maggiore o uguale a 0, $ z $ è il vettore nullo.[...]

Ehmmm, di questo non sarei tanto convinto...


Se qualcuno è interessato alla soluzione algebrica, posso anticipare che non è cosi scontata come quest'ultima..

ps. la prossima volta prometto che controllerò meglio le soluzioni "a prima vista"..

[SkZ]

Se qualcuno è interessato alla soluzione algebrica, posso anticipare che non è cosi scontata come quest'ultima..

ps. la prossima volta prometto che controllerò meglio le soluzioni "a prima vista"..

Posta, posta. Sono proprio curioso di capire com'e': io l'ho considerata geometricamente appunto perche' algebricamente aveva un'aria impestata.

per la tua promessa: Auguri!!!!
Penso che sia una delle cose piu' difficili. Mai vito Will Hunting?
E poi e' il fine di tutto questo immane lavoro imparare a trovare scorciatoie nei problemi.

[jordan]

Mmmm, Will chi? non credo di conoscerlo..


Comunque ecco la mia:

$ |z-\epsilon^k| \le 1 \leftrightarrow (z-\epsilon^k)(\overline{z-\epsilon^k}) \le 1 \leftrightarrow $ $ (z-\epsilon^k)(\overline{z}-\overline{\epsilon^k}) \le 1 \leftrightarrow $ $ |z|^2 \le \overline{z}\epsilon^k+z\overline{\epsilon^k} \forall k \in [0,n-1] $
Sommando tutte le disuguaglianze per i possibili k otteniamo:
$ n|z|^2 \le \overline{z}\sum_0^{n-1}{\epsilon^k}+z(\overline{\sum_0^{n-1}{\epsilon^k}}) =0 $$ \implies |z|=0 $ da cui la tesi..

[SkZ]

http://it.wikipedia.org/wiki/Will_hunting
film in cui un ragazzo genio dimostra in 2 gg quello che i professori del MIT avevano dimostrato in 2 anni!
Penso che anche loro avessero pensato di aver trovato la via piu' breve

[jordan]

Thanks lo sto gia scaricando, me lo vedo tra qualche giorno appena finisco gli esami!
[edit:visto che adunanza ha fatto flash..me lovedo subito!]
[edit2:concordo con julio, bel film..]

[julio14]

per la serie a noi ci piace l'ot, ho finito di guardarlo giusto ora: bel film!