Giochi Archimede
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Sia X un insieme di numeri interi positivi. Si sa che X contiene almeno un elemento aggiore di 1 e che, tutte le volte che contiene un certo numero n, contiene anche tutti i numeri maggiori di n ad eccezione, eventualmente, dei multipli di n. Quale delle seguenti affermazioni è certamente corretta?
a) X è un insieme finito
b) L'insieme X e l'insieme degli interi positivi che non appartengono ad X sono entrambi infiniti
c) X contiene tutti i numeri primi
d) esiste un numero m tale che X contiene tutti gli interi maggiori di m
e) X è uguale all'insieme di tutti gli interi positivi
a) X è un insieme finito
b) L'insieme X e l'insieme degli interi positivi che non appartengono ad X sono entrambi infiniti
c) X contiene tutti i numeri primi
d) esiste un numero m tale che X contiene tutti gli interi maggiori di m
e) X è uguale all'insieme di tutti gli interi positivi
la soluzione da infatti la b, ma vorrei chiederti una cosa sul ragionamento:
secondo la d potrebbe esistere questo m / tutti i numeri positivi interi maggiori di m apparterrebero a X..... ma il problema non aveva affermato che se c'è un numero n>0 appartenente ad X l'insieme contiene tutti i numeri maggiori di n tranne i suoi multipli?
e i suoi multipli non sono infiniti? allora non dovrebbe essere la b?
ti prego di chiarirmi le idee
secondo la d potrebbe esistere questo m / tutti i numeri positivi interi maggiori di m apparterrebero a X..... ma il problema non aveva affermato che se c'è un numero n>0 appartenente ad X l'insieme contiene tutti i numeri maggiori di n tranne i suoi multipli?
e i suoi multipli non sono infiniti? allora non dovrebbe essere la b?
ti prego di chiarirmi le idee
Non ho capito una cosa... La giusta è la b o la d?
E poi, il testo dice eventualmente... quindi se ti gira puoi inserire in X anche i multipli di n. Quindi l'insieme dei non appartenenti ad X può essere finito!! Prendi per esempio n=2. Metti in X tutti i numeri maggiori di due, multipli o no. Ti resta fuori solo 1. Quindi l'insieme dei non appartenenti a X è finito. Le altre sono più facili da negare e per esclusione arrivi alla d.
Oppure noti per la d che prendendo m=1, n=2 e considerando i multipli, ahi in X tutti gli interi maggiori di 1...
Credo che la risposta sia questa, poi se sbaglio smentitemi!
E poi, il testo dice eventualmente... quindi se ti gira puoi inserire in X anche i multipli di n. Quindi l'insieme dei non appartenenti ad X può essere finito!! Prendi per esempio n=2. Metti in X tutti i numeri maggiori di due, multipli o no. Ti resta fuori solo 1. Quindi l'insieme dei non appartenenti a X è finito. Le altre sono più facili da negare e per esclusione arrivi alla d.
Oppure noti per la d che prendendo m=1, n=2 e considerando i multipli, ahi in X tutti gli interi maggiori di 1...
Credo che la risposta sia questa, poi se sbaglio smentitemi!
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non ho ben capito se X contiene o no i multipli di $ $m\in X $
Se l'esclusione e' obbligatoria, allora X contiene tutti i primi maggiori di m, ergo e' infinito, ma non contiene 2m>m e il suo complementare contiene tutti i multipli di m ergo e' infinito pure lui. Quindi l'unica affermazione certamente vera e' la b.
se l'esclusione non e' obbligatoria, allora nessuna affermazione e' certamente vera.
Se l'esclusione e' obbligatoria, allora X contiene tutti i primi maggiori di m, ergo e' infinito, ma non contiene 2m>m e il suo complementare contiene tutti i multipli di m ergo e' infinito pure lui. Quindi l'unica affermazione certamente vera e' la b.
se l'esclusione non e' obbligatoria, allora nessuna affermazione e' certamente vera.
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Per come la vedo io l'esclusione non è obbligatoria, ci può o meno essere. Detto questo la d è l'unica certamente vera. Infatti se io prendo un qualsiasi numero m>1 allora anche m+1 farà parte dell'insieme, ma se ne fà parte m+1 allora ne farà parte anche m+2 e così via all'infinito e in questo modo contengo anche i multipli delnumero di partenza. Cioè se 2 fa parte di X allora 3 ne fa parte, il che implica che 4 ne faccia parte, nonostante sia un multiplo di 2 e così via all'infinito.SkZ ha scritto:non ho ben capito se X contiene o no i multipli di $ $m\in X $
Se l'esclusione e' obbligatoria, allora X contiene tutti i primi maggiori di m, ergo e' infinito, ma non contiene 2m>m e il suo complementare contiene tutti i multipli di m ergo e' infinito pure lui. Quindi l'unica affermazione certamente vera e' la b.
se l'esclusione non e' obbligatoria, allora nessuna affermazione e' certamente vera.
ammettiamo che escludo tutti i multipli di $ ~m>1 $
sia $ $\hat{n}: \forall n\in \mathbb{N}^* \land n>\hat{n} \Rightarrow n\in X $
adesso definisco $ $\hat{m}=m\left(\left\lfloor\frac{\hat{n} }{m}\right\rfloor+1\right) $, che e' un interno maggiore di $ ~\hat{n} $, ma e' anche un multiplo di m, quindi e' da escludere.
Inoltre essendo $ ~\mathbb{N} $ archimedeo, preso qualunque numero naturale esiste sempre un multiplo di m maggiore di questo.
La d non e' certamente vera, puo' esserlo
Di sicuro (ed e' questo quello che viene chiesto) c'e' solo che la prima e' falsa: X contine almeno un elemento diverso dall'unita', ergo contiene almeno anche tutti i primi maggiori di quel numero, quindi X e' infinito.
edit: tolto m diverso da zero che non senso dato che sono positivi
sia $ $\hat{n}: \forall n\in \mathbb{N}^* \land n>\hat{n} \Rightarrow n\in X $
adesso definisco $ $\hat{m}=m\left(\left\lfloor\frac{\hat{n} }{m}\right\rfloor+1\right) $, che e' un interno maggiore di $ ~\hat{n} $, ma e' anche un multiplo di m, quindi e' da escludere.
Inoltre essendo $ ~\mathbb{N} $ archimedeo, preso qualunque numero naturale esiste sempre un multiplo di m maggiore di questo.
La d non e' certamente vera, puo' esserlo
Di sicuro (ed e' questo quello che viene chiesto) c'e' solo che la prima e' falsa: X contine almeno un elemento diverso dall'unita', ergo contiene almeno anche tutti i primi maggiori di quel numero, quindi X e' infinito.
edit: tolto m diverso da zero che non senso dato che sono positivi
Ultima modifica di SkZ il 30 ott 2008, 17:09, modificato 1 volta in totale.
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la risposta è la b.
l'insieme è infinito e ovviamente come diceva SKZ anche il suo complementare è infinito.
la d è meno certa di essere vera perchè o si considera come premessa sempre il fatto che X non contenga tutti i 2m oppure si considera il fatto che lì è scritto tutti gli interi maggiori di m.
l'insieme è infinito e ovviamente come diceva SKZ anche il suo complementare è infinito.
la d è meno certa di essere vera perchè o si considera come premessa sempre il fatto che X non contenga tutti i 2m oppure si considera il fatto che lì è scritto tutti gli interi maggiori di m.