ssc

[quark]

Sia S una sfera di raggio 1, C il cerchio ottenuto dalla intersezione di un
piano con la sfera, e P un punto della superficie della sfera. Sia h l'altezza del cono di vertice P e base C, e r il raggio del cerchio C. Determinare h ed r in modo che il volume del cono sia massimo.

[julio14]

Derivando è abbastanza semplice... qualcuno ha una soluzione olimpica? (anche se la vedo dura vista la fonte e vista la facile soluzione con la derivata)

[jordan]

Derivando è abbastanza semplice... qualcuno ha una soluzione olimpica? (anche se la vedo dura vista la fonte e vista la facile soluzione con la derivata)

Mmm, se fissi un piano nella sfera S hai che il punto che massimizza il volume del cono è il punto sulla retta centro(cerchio)-centro(sfera), che sta sulla sfera, e ha distanza massima dal centro del cerchio, questo mi pare abbastanza ovvio.
Quindi posto $ R $ il raggio della sfera, e definito $ \alpha $ l'angolo tra l'asse del cerchio e un qualunque raggio $ R $ che tocchi la circonferenza, abbiamo che il raggio $ r $ del cerchio soddisfa la relazione $ r=R \sin{\alpha} $. L'altezza del cono di conseguenza vale $ R(1+\cos{\alpha}) $. Non dimentichiamo che $ \alpha \in [0, \frac{\pi}{2}] $.
Dobbiamo quindi massimizzare la funzione $ \frac{1}{3}(\pi R^2 (\sin{\alpha})^2 )(R(1+\cos{\alpha})) $ sse $ max\{\cos{\alpha}-\cos^2{\alpha}-\cos^3{\alpha}\} $. Posto $ x=\cos{\alpha} \in [0,1] $ dobbiamo quindi minimizzare la funzione $ f(x)=x(x^2+x-1) $ nell'intervallo $ [0,1] $.
Dato che è una cubica avrà al massimo tre radici reali ( e le ha): per verificare che $ x=x_0 $ è minimo sarà quindi sufficiente mostrare che almeno per valori vicino a $ x_0 $ (sto cercando in tutti i modi di non chiamarlo intorno ) valgono entrambe le disuguaglianze $ f(x_0 \pm h) > f(x_0), h>0 $. Proviamo a sostituire..
i) $ f(x_0+h)>f(x_0) $ sse $ x^3+x^2(3x_0+1)+x(3x_0^2+2x_0-1)>0 $.
ii) $ f(x_0-h)>f(x_0) $ sse $ x^3+x^2(3x_0+1)-x(3x_0^2+2x_0-1)>0 $.
Sappiamo che la soluzione è unica (dato che la cubica puo avere un solo minimo) e che se il coefficiente di x vale 0 allora entrambe le equazioni sono soddisfatte: bingo! La radice accettabile di $ 3x_0^2+2x_0-1 $ è $ x_0=1/3 $ da cui il risultato del problema.

(PS. non lo dite a nessuno che quell'espressione era proprio la nostra derivata )

[julio14]

LOL tra le dimostrazioni senza teoria è quella meno olimpica che abbia mai visto.

[g(n)]

Soluzione più olimpica :

Come sopra, fissato un cerchio, il punto P che massimizza il volume è l'intersezione fra la sfera e la retta passante per il centro del cerchio ed il centro della sfera.

Bisogna massimizzare $ V=\frac 13 \pi r^2 h $
dove $ r $è il raggio del cerchio. Per Pitagora si ha che

$ R^2 = r^2+(h-R)^2\Leftrightarrow r^2=2hR-h^2 $

quindi la funzione da massimizzare è

$ \frac 13 \pi r^2 h=\frac 13\pi(2hR-h^2)h $
ovvero si cerca il massimo di $ h^2(2R-h) $. Per AM-GM si ha:

$ \displaystyle\frac{(2R-h)+\frac h2 +\frac h2}{3}\geq \sqrt[3]{(2R-h)\frac{h^2}{4}}\Rightarrow 4\left(\frac 23 R\right)^3\geq h^2(2R-h) $

da cui si ottiene che il massimo volume è $ \displaystyle\frac{32}{81}\pi R^3 $