Ad ogni modo..
Mostrare che per ogni $ (a,b) \in \mathbb{C}^2 $, entrambi diversi da 0, il seguente polinomio ha almeno una radice con modulo 1:
$ p(x)=ax^3+bx^2+\overline{b}x+\overline{a} $
cubica con i complessi
cubica con i complessi
premetto che secondo me come problema è molto olimpico..
Ad ogni modo..
Mostrare che per ogni $ (a,b) \in \mathbb{C}^2 $, entrambi diversi da 0, il seguente polinomio ha almeno una radice con modulo 1:
$ p(x)=ax^3+bx^2+\overline{b}x+\overline{a} $
Ad ogni modo..
Mostrare che per ogni $ (a,b) \in \mathbb{C}^2 $, entrambi diversi da 0, il seguente polinomio ha almeno una radice con modulo 1:
$ p(x)=ax^3+bx^2+\overline{b}x+\overline{a} $
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Viene molto carino graficamente... se avete kig divertitevi a farlo girare!
P.S. non è un txt, è che non mi accetta l'estensione: cambiatela in kig.
P.S. non è un txt, è che non mi accetta l'estensione: cambiatela in kig.
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Carino
Un polinomio di terzo grado ha sempre tre radici. Sia z una di esse, quindi $ $p(z)=0$ $.
Il polinomio è "quasi palindromo", infatti $ $\overline{z}^3\cdot p(\frac{1}{\overline{z}})=\overline{p(z)}=\overline{0}=0$ $.
Poichè $ $a$ $ è diverso da 0, anche $ $z$ $ lo è, quindi $ $p(\frac{1}{\overline{z}})=0$ $.
Le radici però sono 3, quindi ce n'è almeno una tale che $ $z=\frac{1}{\overline z}$ $, cioè con modulo 1.
Julio, sono molto curioso di vedere una soluzione grafica ma sto kig non so nemmeno cosa sia...
Un polinomio di terzo grado ha sempre tre radici. Sia z una di esse, quindi $ $p(z)=0$ $.
Il polinomio è "quasi palindromo", infatti $ $\overline{z}^3\cdot p(\frac{1}{\overline{z}})=\overline{p(z)}=\overline{0}=0$ $.
Poichè $ $a$ $ è diverso da 0, anche $ $z$ $ lo è, quindi $ $p(\frac{1}{\overline{z}})=0$ $.
Le radici però sono 3, quindi ce n'è almeno una tale che $ $z=\frac{1}{\overline z}$ $, cioè con modulo 1.
Julio, sono molto curioso di vedere una soluzione grafica ma sto kig non so nemmeno cosa sia...
EATO non è un'idea, è uno stile di vita
Già, che semo
Rimane il caso in cui una radice ha molteplicità 2 è la terza è l'inverso del coniugato.
Ma allora deve essere $ $\frac{\overline{a}}{a}=-\frac{z^2}{\overline{z}}$ $ perchè il prodotto delle 3 radici è l'opposto del termine noto del polinomio diviso per il coefficiente del termine di grado più alto
ma il Lhs ha modulo 1, mentre il rhs ha modulo $ $|z|$ $, e torniamo quindi a $ $|z|=1$ $
Rimane il caso in cui una radice ha molteplicità 2 è la terza è l'inverso del coniugato.
Ma allora deve essere $ $\frac{\overline{a}}{a}=-\frac{z^2}{\overline{z}}$ $ perchè il prodotto delle 3 radici è l'opposto del termine noto del polinomio diviso per il coefficiente del termine di grado più alto
ma il Lhs ha modulo 1, mentre il rhs ha modulo $ $|z|$ $, e torniamo quindi a $ $|z|=1$ $
Ultima modifica di PubTusi il 15 nov 2008, 14:20, modificato 1 volta in totale.
EATO non è un'idea, è uno stile di vita
Apparte qualche accento (PubTusi ha scritto:Rimane il caso in cui una radice ha molteplicità 2 è la terza è l'inverso del coniugato.
) io non capisco proprio questo tuo caso: se una radice ha molteplicità 2 allora ricadi nel tuo primo caso dato che su tre ne esiste almeno uno pari al coniugato dell'inverso.. The only goal of science is the honor of the human spirit.
Ok, cerco di mettere un pò in ordine:
Supponiamo il polinomio abbia una radice z con modulo diverso da 1, allora ho dimostrato che se z è una radice allore lo è anche $ $\frac{1}{\overline {z}}$ $.
Supponiamo anche la terza radice t abbia modulo diverso da 1.
Se $ $t=z$ $ ( o $ $t=\frac{1}{\overline {z}}$ $) si raggiunge un assurdo (penultimo post).
Altrimenti anche $ $\frac{1}{\overline {t}}$ $ dev essere una radice. Ma 4 radici sono un pochino troppe per un polinomio di terzo grado.
Supponiamo il polinomio abbia una radice z con modulo diverso da 1, allora ho dimostrato che se z è una radice allore lo è anche $ $\frac{1}{\overline {z}}$ $.
Supponiamo anche la terza radice t abbia modulo diverso da 1.
Se $ $t=z$ $ ( o $ $t=\frac{1}{\overline {z}}$ $) si raggiunge un assurdo (penultimo post).
Altrimenti anche $ $\frac{1}{\overline {t}}$ $ dev essere una radice. Ma 4 radici sono un pochino troppe per un polinomio di terzo grado.
EATO non è un'idea, è uno stile di vita
Si è ok, scusa se lho chiesto piu di una volta
La mia strada cmq era un po diversa, considerava che se $ (c,d,e) \in \mathbb{C}^3 $ erano le radici allora $ (\frac{1}{\overline{c}},\frac{1}{\overline{d}},\frac{1}{\overline{e}}) \in \mathbb{C}^3 $ era un vettore permutazione di quest'ultimo. Allora o uno corrisponde all'inverso da cui la tesi, oppure formano una catena da tre wlog $ c=\frac{1}{\overline{d}},d=\frac{1}{\overline{e}},e=\frac{1}{\overline{c}} $,ma se $ |c|>1 \implies |d|<1\implies |e| $ $ >1 \implies |c|<1 $..
E pensandoci un po è la stessa cosa che dici te..
La mia strada cmq era un po diversa, considerava che se $ (c,d,e) \in \mathbb{C}^3 $ erano le radici allora $ (\frac{1}{\overline{c}},\frac{1}{\overline{d}},\frac{1}{\overline{e}}) \in \mathbb{C}^3 $ era un vettore permutazione di quest'ultimo. Allora o uno corrisponde all'inverso da cui la tesi, oppure formano una catena da tre wlog $ c=\frac{1}{\overline{d}},d=\frac{1}{\overline{e}},e=\frac{1}{\overline{c}} $,ma se $ |c|>1 \implies |d|<1\implies |e| $ $ >1 \implies |c|<1 $..
E pensandoci un po è la stessa cosa che dici te..
The only goal of science is the honor of the human spirit.