Quattro punti nello spazio

[Anér]

Siano A, B, C, D quattro punti nello spazio. Si prendano P sul segmento AB e Q sul segmento CD tali che AP/PB=DQ/QC, e si prendano analogamente R su BC e S su DA tali che BR/RC=AS/SD. Dimostrare che le rette PQ e RS concorrono in un punto T e che valgono le relazioni ST/TR=AP/PB=DQ/QC e PT/TQ=BR/RC=AS/SD.

[jordan]

Sia $ \vec{A}=(a_1,a_2,...,a_n) \in \mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}/\{0\} $ e ciclicamente $ \vec{B},\vec{C},\vec{D} $ i vertici del quadrilatero e sia assegnato $ \vec{W}=(w_1,w_2)=(\frac{AP}{PB},\frac{BR}{RC}) \in\ \mathbb{R}^2 $. Allora vale $ \vec{P}=w_1\vec{B}+(1-w_1)\vec{A} $ e analogamente $ \vec{Q},\vec{R},\vec{S} $. Adesso PQ e RS concorrono in T sse esiste $ \vec{K}=(k_1,k_2)\in \mathbb{R}^2 $ t.c. $ \vec{T}=k_1\vec{R}+(1-k_1)\vec{S}=k_2\vec{Q}+(1-k_2)\vec{P} $. Bingo, $ \vec{K}=\vec{W} $ è soluzione