archimede probabilità

[bestiedda]

una colonia di amebe si moltiplica in uno stagno. Inizialmente sono presenti un'ameba chiara e un'ameba scura. Poi, ogni giorno per 2004 giorni consecutivi, una sola ameba tra quelle presenti si divide in due amebe identiche alla sua generatrice. Qual è la probabilità che alla fine del 2004esimo giorno vi sia una sola ameba scura?

[Haile]

una colonia di amebe si moltiplica in uno stagno. Inizialmente sono presenti un'ameba chiara e un'ameba scura. Poi, ogni giorno per 2004 giorni consecutivi, una sola ameba tra quelle presenti si divide in due amebe identiche alla sua generatrice. Qual è la probabilità che alla fine del 2004esimo giorno vi sia una sola ameba scura?

La probabilità che il primo giorno a moltiplicarsi sia l'ameba chiara, è di $ $\frac{1}{2}$ $. In questo caso il secondo giorno avremo 2 amebe chiare ed una scura. La probabilità che a moltiplicarsi sia una delle 2 chiare, è di $ $\frac{2}{3}$ $. In totale siamo ad una probabilità, calcolata sui due giorni, di $ $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $ che ci sia una sola ameba scura.

Generalizzando, la probabilità al giorno 2004 è pari a

$ $\prod_{n=1}^{2004} \frac{n}{n+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdots \frac{2004}{2005} = \frac{2004!}{2005!} = \boxed{\frac{1}{2005}}$ $