Razionali "argentini"

[geda]

Siano $ a $ e $ b $ due numeri razionali positivi tali che nessuno dei due sia intero, ma $ a+b $ e' intero. Dire se e' possibile che $ a^{20}+b^{20} $ sia intero. E $ a^{21}+b^{21} $ puo' essere intero?

[jordan]

Tanto che sei arrivato a 20 e 21 perchè non hai messo 2008 e 2009?
Comunque.. perchè nessuno risponde? Nessuno nota niente sui denominatori?

[geda]

Tanto che sei arrivato a 20 e 21 perchè non hai messo 2008 e 2009?

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Comunque.. perchè nessuno risponde? Nessuno nota niente sui denominatori?

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[geda]

Just a little Hint:

Siano $ \frac{a}{b} $ e $ \frac{c}{d} $ i due numeri razionali in questione, espressi in forma di frazioni irriducibili. Deve valere $ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}=\textrm{intero} $. Quindi $ ad+cb\equiv 0 \mod d $ e $ ad+cb\equiv 0 \mod b $. Cioe` $ cb\equiv 0 \mod d $ e $ ad\equiv 0 \mod b $. Come devono essere $ b $ e $ d $ fra loro?

[jordan]

Just a little Hint:

Siano $ \frac{a}{b} $ e $ \frac{c}{d} $ i due numeri razionali in questione, espressi in forma di frazioni irriducibili. Deve valere $ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}=\textrm{intero} $. Quindi $ ad+cb\equiv 0 \mod d $ e $ ad+cb\equiv 0 \mod b $. Cioe` $ cb\equiv 0 \mod d $ e $ ad\equiv 0 \mod b $. Come devono essere $ b $ e $ d $ fra loro?

E chiamalo hint

Adesso cerca di concludere che senno non la fa piu nessuno

[SkZ]

volendo si puo' presupporre i razionali in questione, per semplicita', "scomponibili" in
$ $k+\frac{m}{n} $ con $ k,m,n\in\mathbb{Z} $, $ ~0<m<n $ e $ ~(m,n)=1 $

[geda]

..Adesso cerca di concludere che senno non la fa piu nessuno

Ok. Cerchiamo di chiudere.

Siano $ \frac{a}{b} $ e $ \frac{c}{d} $ i due numeri razionali in questione, espressi in forma di frazioni irriducibili. Deve valere $ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}=\textrm{intero} $. Quindi $ ad+cb\equiv 0 \mod d $ e $ ad+cb\equiv 0 \mod b $. Cioe` $ cb\equiv 0 \mod d $ e $ ad\equiv 0 \mod b $. Come devono essere $ b $ e $ d $ fra loro?

Dalla citazione si ricava che i denominatori $ b $ e $ d $ delle frazioni che esprimono i due numeri razionali devono essere uguali. Quindi chiamiano $ m=\frac{a}{d} $ e $ n=\frac{c}{d} $ i due numeri razionali del nostro esrcizio, tali che $ m+n=\frac{a+c}{d}=\textrm{intero} $ e $ (a,d)=(c,d)=1 $.

Dimostriamo prima che esistono due numeri razionali $ m $ e $ n $ che soddisfano la relazione $ m^{21}+n^{21}=\textrm{intero} $. Basta prendere ad esempio $ m=\frac{kd^{21}-1}{d} $ e $ n=\frac{1}{d} $. Infatti, $ m^{21}+n^{21}=\frac{(kd^{21}-1)^{21}+1}{d^{21}} $. In questa frazione il numeratore e' divisibile per il denominatore poiche' $ (kd^{21}-1)^{21}+1\equiv 0 \mod d^{21} $.

Manca di dimostrare invece che non esistono due numeri con la proprieta' vista sopra tali che $ m^{20}+n^{20}=\textrm{intero} $. Poiche' $ m+n=\frac{a+c}{d}=\textrm{intero} $, allora
$ a+c=kd $, cioe' $ a=kd-c $. Quindi, $ m^{20}+n^{20}=\frac{(kd-c)^{20}+c^{20}}{d^{20}} $. Di questa frazione il numeratore e' divisibile per $ d $ solo se $ 2c^{20}\equiv 0 \mod d $. Ma, poiche' $ d $ e' relativamente primo a $ c $, l'unica possibilita' e' $ d=2 $. Finalmente, se $ d=2 $ allora il numeratore $ a^{20}+c^{20} $ deve essere divisibile almeno per $ 4 $. Ma cio' non puo' essere poiche' $ a^{20}+c^{20}\equiv 1 + 1=2 \mod 4 $. Ricordo che $ a $ e $ c $ devono essere relativamente primi a $ d $, quindi in questo caso devono essere dispari.

Un po lunga, ma non difficile.