Dimostrazione di irrazionalità

[fraroot]

Come mio primo post (a parte quelli di presentazione) vi propongo questo esercizio:

Dimostrare che per ogni intero n ≥ 1 il numero reale: $ \sqrt{4n-1} $ è irrazionale

Buon lavoro!

[antosecret]

deve essere $ 4n-1=a^2 \rightarrow 4n=a^2+1 \rightarrow 0 = a^2+1 \pmod4 $.
Ma i quadrati modulo 4 sono solo 0 oppure 1.
Quindi questa equazione non ha soluzioni intere.

[fraroot]

Perfetto! Anche io l'ho dimostrato con i residui quadratici modulo 4

[dario2994]

Provo a prendere un'altra strada...
$ $\sqrt{4n-1}=\sqrt{2n-1}\sqrt{2n+1}$ $
Se deve essere intero allora entrambe le radici devono essere intere dato che 2 numeri irrazionali sommati non danno mai intero.
Se devono essere intere vuol dire che quello che sta al loro interno è un quadrato perfetto. Il problema è che cosi si identificano 2 quadrati perfetti con differenza 2 :|. Situazione assurda perchè la progressione dei quadrati perfetti è anche definibile come funzione ricorsiva con somma di dispari... non so se sono chiaro ma lo spiego meglio:
$ $f(0)=0; f(n)=f(n-1)+2(n-1)+1$ $

Da cui si deduce che non possono esistere 2 quadrati perfetti con differenza 2. Si poteva anche vedere notando che tra 0 e 1 la differenza è 1 e andando avanti aumenta sempre, partendo da 3,5,7 etc

[EvaristeG]

Mah, quell'uguaglianza è falsa, dario.

[FrancescoVeneziano]

Comunque la somma di due numeri irrazionali può essere un numero intero, ad esempio $ \pi $ e $ -\pi $ sommati danno $ 0 $.

[mitchan88]

Se deve essere intero allora entrambe le radici devono essere intere dato che 2 numeri irrazionali sommati non danno mai intero.

Fra l'altro $ (1+\sqrt 2)+(1-\sqrt 2)=2 $ che è intero

[mitchan88]

Comunque la somma di due numeri irrazionali può essere un numero intero, ad esempio $ \pi $ e $ -\pi $ sommati danno $ 0 $.

Uffa solo perchè sono lento a texxare