1) dato un p primo $ a/p \equiv {a^{(p-1)/2} \pmod p $; fate finta che quello sia il simbolo di legendre(non lo so fare e mi scocciavo di andarmi a cercare un topic(nn ce ne sono tanti in giro mi sa) che lo usa per vedere come si mette in tex): per chi non lo sapesse,quella cosa lì vale -1 se a non è residuo quadratico mod p e 1 se lo è.
2) Sia p primo dispari,e a primo con p. Considera i seguenti numeri mod p: a,2a....(p-1/2)a; ora chiamiamo n il numero di residui, che nella presente lista sono maggiori di (p-1)/2. Dimostrare che $ (a/p)=(-1)^n $
Allora: probabile che siano già passati su questo forum, però almeno da un pò ciò non accade, almeno da quando frequento io, penso,quindi,magari può essere istruttivo per qualche non super veterano.
Il titolo è dovuto al fatto che a è attribuito a Eulero,e b a Gauss.
Ciao ciao
Eulero-Gauss
Eulero-Gauss
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
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Nessuno che ci prova?
Garantisco che entrambi ammettono sol perfettamente elementari(alias,dove si usa niente che in questa pagina del forum sia considerato esotico).
[ammetto che l'a io non l'ho risolto,o almeno non il vero punto problematico e non di mera applicazione teoremica[che comunque sarebbe già qualcosa se qualcuno la facesse salire alla luce],perchè di quello lessi la soluz di filato dal sato dopo aver letto il testo,da vero pivello, e me ne sono amaramente pentito perchè è un'idea semplice e carina,invito dunque chi ne è all'oscuro a trovarla, da lì per il b non è un gran lavoraccio....]
Garantisco che entrambi ammettono sol perfettamente elementari(alias,dove si usa niente che in questa pagina del forum sia considerato esotico).
[ammetto che l'a io non l'ho risolto,o almeno non il vero punto problematico e non di mera applicazione teoremica[che comunque sarebbe già qualcosa se qualcuno la facesse salire alla luce],perchè di quello lessi la soluz di filato dal sato dopo aver letto il testo,da vero pivello, e me ne sono amaramente pentito perchè è un'idea semplice e carina,invito dunque chi ne è all'oscuro a trovarla, da lì per il b non è un gran lavoraccio....]
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
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-
g(n)
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- Iscritto il: 14 ott 2007, 19:24
- Località: Codroipo, il paese più anagrammato d'Italia
Re: Eulero-Gauss
Penso sia semplicementeCarlein ha scritto:fate finta che quello sia il simbolo di legendre(non lo so fare e mi scocciavo di andarmi a cercare un topic(nn ce ne sono tanti in giro mi sa) che lo usa per vedere come si mette in tex
Codice: Seleziona tutto
\left(\frac ap \right)
Che idiota! Non so perchè mi ero subito persuaso che quel simbolo avesse una sua scrittura speciale(il che,col senno di ora, sarebbe un idiozia e uno spreco potendolo esprimere attraverso simboli già esistenti)......vabbeh a mia discolpa dico che non me ne ero più di tanto preoccupato,adottando bovinamente l'approccio imbranato col pc che mi appartiene...grazie g(n)
[a mia didiscolpa:non avevo mai scritto prima,mi pare, una frazione in tex, dunque è forse per questo che nn mi è venuto in mente,vabbeh ciò non toglie che sono un vero imbranato
]ciaociao
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Mah forse non interessa nessuno....
Il primo caso, è davvero meccanico e l'ho messo solo per completezza:$ \left(\frac xp \right)=1 $ allora esiste y t.c $ x\equiv {y^2} \pmod p $ si elevi tutto alla p-1/2 e si riconosca una vecchia conoscenza. Ora riporto prova non mia,del caso meno ottuso $ \left(\frac xp \right) =-1 $: quest ipotesi ci dice che per ogni h in Zp esiste uno e un solo j diverso da h t.c $ hj \equiv x \pmod p $ Dunque $ x^{p-1/2} \equiv {(p-1)!} \pmod p $ e dunque dal teorema di wilson si ha la tesi: forse eran troppo banali e non vi andava di perdere tempo col Tex...mmm forse avete ragione....
Lemma di Gauss:forse anche questa è applicazione abbastanza diretta di un lemma(quello di su), però io ho prima pensato in maniera piuttosto inutilmente complicata prima di accorgermi della sua semplice eleganza,perciò trovandolo istruttivo l'avevo postato.
Prendendo gli interi di quella lista osserviamo ciò: fermandoci a x(p-1)/2 tagliamo fuori tutti gli opposti della lista appena creata:,questo significa che nella lista ci sono numeri diversi e diversi anche in valore assoluto:quanti? (p-1)/2:allora vuol dire che abbiamo tutti i valori assoluti possibili mod p: si moltiplica e viene fuori
$ (p-1/2)! \equiv {x^{(p-1)/2} ((p-1)/2)!} \pmod p $ oppure $ (p-1/2)! \equiv {-x^{(p-1)/2}(p-1/2)!} $ dal lemma di su sappiamo la scelta equivale esattamente a $ \left(\frac xp \right) =1 $ o se $ \left(\frac xp \right)=-1 $. Ma per le ossrvazioni di pirma la scelta equivale anche alla parità di"negativi" in $ x(2x)...(p-1)/2x $
Un saluto...e la prossima volta proporrò problemi più interessanti
Il primo caso, è davvero meccanico e l'ho messo solo per completezza:$ \left(\frac xp \right)=1 $ allora esiste y t.c $ x\equiv {y^2} \pmod p $ si elevi tutto alla p-1/2 e si riconosca una vecchia conoscenza. Ora riporto prova non mia,del caso meno ottuso $ \left(\frac xp \right) =-1 $: quest ipotesi ci dice che per ogni h in Zp esiste uno e un solo j diverso da h t.c $ hj \equiv x \pmod p $ Dunque $ x^{p-1/2} \equiv {(p-1)!} \pmod p $ e dunque dal teorema di wilson si ha la tesi: forse eran troppo banali e non vi andava di perdere tempo col Tex...mmm forse avete ragione....
Lemma di Gauss:forse anche questa è applicazione abbastanza diretta di un lemma(quello di su), però io ho prima pensato in maniera piuttosto inutilmente complicata prima di accorgermi della sua semplice eleganza,perciò trovandolo istruttivo l'avevo postato.
Prendendo gli interi di quella lista osserviamo ciò: fermandoci a x(p-1)/2 tagliamo fuori tutti gli opposti della lista appena creata:,questo significa che nella lista ci sono numeri diversi e diversi anche in valore assoluto:quanti? (p-1)/2:allora vuol dire che abbiamo tutti i valori assoluti possibili mod p: si moltiplica e viene fuori
$ (p-1/2)! \equiv {x^{(p-1)/2} ((p-1)/2)!} \pmod p $ oppure $ (p-1/2)! \equiv {-x^{(p-1)/2}(p-1/2)!} $ dal lemma di su sappiamo la scelta equivale esattamente a $ \left(\frac xp \right) =1 $ o se $ \left(\frac xp \right)=-1 $. Ma per le ossrvazioni di pirma la scelta equivale anche alla parità di"negativi" in $ x(2x)...(p-1)/2x $
Un saluto...e la prossima volta proporrò problemi più interessanti
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Non credo che non interessi a nessuno 
E' un fatto noto abbastanza simpatico, la dimostrazione di quel lemma di Gauss poi è molto carina... Probabilmente molti non hanno postato la loro soluzione perché lo avevano già visto....
Un consiglio in questi casi: è più sfizioso definire alcune funzioni (per il puro scopo di usare più notazione) piuttosto che dare semplicemente dei nomi pittoreschi (come "il valore assoluto modulo p") sperando che si capisca...
(giusto per sfizio, non che serva davvero )
In questo caso immagino che tu intenda che il valore assoluto di n modulo p è quell'intero m compreso tra $ 0 $ e $ \frac{p-1}{2} $ tale che $ p|(n-m)(n+m) $, giusto?
ciau!
p.s. non ti scoraggiare! Se vuoi consolarti conta il numero di miei thread in TdN senza risposte
E' un fatto noto abbastanza simpatico, la dimostrazione di quel lemma di Gauss poi è molto carina... Probabilmente molti non hanno postato la loro soluzione perché lo avevano già visto....
Un consiglio in questi casi: è più sfizioso definire alcune funzioni (per il puro scopo di usare più notazione) piuttosto che dare semplicemente dei nomi pittoreschi (come "il valore assoluto modulo p") sperando che si capisca...
(giusto per sfizio, non che serva davvero
)In questo caso immagino che tu intenda che il valore assoluto di n modulo p è quell'intero m compreso tra $ 0 $ e $ \frac{p-1}{2} $ tale che $ p|(n-m)(n+m) $, giusto?
ciau!
p.s. non ti scoraggiare! Se vuoi consolarti conta il numero di miei thread in TdN senza risposte
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
Sisi, per "valore assoluto" intendevo proprio quello.
Si provare a scrivere soluzioni in maniera vagamente decente è una cosa che dovrei iniziare a imparare(va irrimediabilmente contro la mia pigrizia naturale) ,e fare quello che dici sarebbe già un passo in avanti verso una soluzione "civilizzata"...lo metto nella lista delle buone intenzioni per il futuro
Ciaociao!
Si provare a scrivere soluzioni in maniera vagamente decente è una cosa che dovrei iniziare a imparare(va irrimediabilmente contro la mia pigrizia naturale) ,e fare quello che dici sarebbe già un passo in avanti verso una soluzione "civilizzata"...lo metto nella lista delle buone intenzioni per il futuro
Ciaociao!
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Io l'ho imparato per pigrizia... perchè scrivere n righe quando puoi scriverne n-1?Carlein ha scritto:Sisi, per "valore assoluto" intendevo proprio quello.
Si provare a scrivere soluzioni in maniera vagamente decente è una cosa che dovrei iniziare a imparare(va irrimediabilmente contro la mia pigrizia naturale) ,e fare quello che dici sarebbe già un passo in avanti verso una soluzione "civilizzata"...lo metto nella lista delle buone intenzioni per il futuro
Ciaociao!
E' famoso l'episodio di un inglese che scrisse una lettera lunghissima ad un amico concludendo: scusa tanto amico mio delle dimensioni della lettera, ma vado di fretta.
Si magari scrivi pure di più,però scrivere direttamente quello che hai in testa non ti porta a nessun lavoro in più,perchè l'hai già fatto, tradurre in un linguaggio comune e più sinetico richiede un pò di lavoro,che di solito la mia pigrizia respinge...questo intendevo
Si magari scrivi pure di più,però scrivere direttamente quello che hai in testa non ti porta a nessun lavoro in più,perchè l'hai già fatto, tradurre in un linguaggio comune e più sinetico richiede un pò di lavoro,che di solito la mia pigrizia respinge...questo intendevo
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
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