Proprietà Fibonacciosa

[Haile]

Non è difficile la dimostrazione di questa tutto sommato poco nota proprietà dei numeri di Fibonacci, che propongo:

Sia $ $\mathcal{F}$ $ un numero di Fibonacci. Si dimostri che

$ $\mathcal{F}_{n+m} = \mathcal{F}_{n-1} \mathcal{F}_{m} + \mathcal{F}_{n} \mathcal{F}_{m+1}$ $

Buon Lavoro

[Ani-sama]

Per induzione su $ m $ a $ n $ fissato, giusto?

[Haile]

Per induzione su $ m $ a $ n $ fissato, giusto?

È una strada

[Haile]

Uppete!

Si accettano anche risposte del tipo

- Questo problema è talmente brutto che non mi abbasso a farlo.
- Questo problema è talmente bello che non voglio rovinarlo con le mie rozze soluzioni.
- Questo problema è troppo facile! Preferisco dedicarmi a qualcos'altro. Ed ora scusate, devo andare a dimostrare la congettura di Collatz
- Questo problema è troppo, troppo difficile! La maestra non ci ha ancora spiegato i numeri di Frib... Fibro... Fibor...

[kn]

Volendo tentare un'"induzione doppia (nonché mezza trasfinita)" , è giusta una dimostrazione del genere? (Credo proprio di no)
Faccio vedere che sta proprietà è vera per ogni n, a partire da 2.
$ \displaystyle\mathcal{F}_{2+m}=\mathcal{F}_{m+1}+\mathcal{F}_m=\mathcal{F}_1\mathcal{F}_m+\mathcal{F}_2\mathcal{F}_{m+1} $ (per n = 2 ok)
Poi dimostro che, per ogni n, se è vera per ogni n > k > 1, allora è vera anche per n:
(ora uso un'ulteriore induzione su m) per m = 2 è sempre vero (stessa cosa di sopra)
suppongo vero per m-1; ottengo
$ \displaystyle\mathcal{F}_{n+m}=\mathcal{F}_{n+(m-1)}+\mathcal{F}_{(n-1)+(m-1)}=\\=\mathcal{F}_{n-1}\mathcal{F}_{m-1}+\mathcal{F}_n\mathcal{F}_m+\mathcal{F}_{n-2}\mathcal{F}_{m-1}+\mathcal{F}_{n-1}\mathcal{F}_m=\\=\mathcal{F}_{m-1}(\mathcal{F}_{n-1}+\mathcal{F}_{n-2})+\mathcal{F}_m(\mathcal{F}_n+\mathcal{F}_{n-1})=\mathcal{F}_{m-1}\mathcal{F}_n+\mathcal{F}_m\mathcal{F}_{n+1} $ (per ipotesi induttiva di n)
scambio m e n (qui è sbagliato, penso) e viene quello che si voleva.
Quindi questa proprietà è vera per ogni m (con questo valore di n) e ri-quindi è vera anche per ogni n.
In qualunque caso si fa molto prima con un'induzione sola, è solo una curiosità la mia.

[Haile]

Volendo tentare un'"induzione doppia (nonché mezza trasfinita)" , è giusta una dimostrazione del genere? (Credo proprio di no)
Faccio vedere che sta proprietà è vera per ogni n, a partire da 2.
$ \displaystyle\mathcal{F}_{2+m}=\mathcal{F}_{m+1}+\mathcal{F}_m=\mathcal{F}_1\mathcal{F}_m+\mathcal{F}_2\mathcal{F}_{m+1} $ (per n = 2 ok)
Poi dimostro che, per ogni n, se è vera per ogni n > k > 1, allora è vera anche per n:
(ora uso un'ulteriore induzione su m) per m = 2 è sempre vero (stessa cosa di sopra)
suppongo vero per m-1; ottengo
$ \displaystyle\mathcal{F}_{n+m}=\mathcal{F}_{n+(m-1)}+\mathcal{F}_{(n-1)+(m-1)}=\\=\mathcal{F}_{n-1}\mathcal{F}_{m-1}+\mathcal{F}_n\mathcal{F}_m+\mathcal{F}_{n-2}\mathcal{F}_{m-1}+\mathcal{F}_{n-1}\mathcal{F}_m=\\=\mathcal{F}_{m-1}(\mathcal{F}_{n-1}+\mathcal{F}_{n-2})+\mathcal{F}_m(\mathcal{F}_n+\mathcal{F}_{n-1})=\mathcal{F}_{m-1}\mathcal{F}_n+\mathcal{F}_m\mathcal{F}_{n+1} $ (per ipotesi induttiva di n)
scambio m e n (qui è sbagliato, penso) e viene quello che si voleva.
Quindi questa proprietà è vera per ogni m (con questo valore di n) e ri-quindi è vera anche per ogni n.
In qualunque caso si fa molto prima con un'induzione sola, è solo una curiosità la mia.

In poche parole con l'induzione hai dimostrato che

$ $(n, m-1) \Rightarrow (m, n)$ $

Credo sia giusto lo stesso, perchè in concreto hai dimostrato che se è vera per $ $\mathcal{F}_{n+m-1}$ $ allora è vera per $ $\mathcal{F}_{m+n}$ $