Premetto che è la prima volta che tento un problema di questo livello... Quindi, se dovessi sparare cavolate varie, non trattatemi troppo male
Abbiamo $ p^2-p+1 = n^3 $, da cui si ricava abbastanza facilmente
$ p = \frac{(n-1)(n^2 + n + 1)}{p-1} $ $ (1.0) $
(non può essere $ p=1 $ per ovvi motivi).
Come prima cosa, noto che per $ n=4 $ non ottengo soluzioni.
Ora, $ n-1 $ e $ n^2+n+1 $ non sono coprimi solo se entrambi sono multipli di $ 3 $. Quindi, distinguo due casi:
- $ M.C.D. (n-1 , n^2+n+1) = 3 $
In questo caso posso quindi scrivere $ n = 3n_1 + 1 $. Quindi, la $ 1.0 $ diventa:
$ p = \frac {9n_1(3n_1^2 + 3n_1 + 1)}{p-1} $
Osserviamo che $ n_1 $ e $ 3n_1^2+3n_1+1 $ sono coprimi, Inoltre, siccome $ n_1>1 $, $ 3n_1^2+3n_1+1 > 9n_1 $ . Pertanto, si possono distinguere due ulteriori sottocasi:
- $ 9n_1 = p-1, 3n_1^2 + 3n_1 +1 = p $ $ \Rightarrow 9n_1 = 3n_1^2+3n_1+1 $
le cui soluzioni sono $ n_1=0 $ e $ n_1=2 $, da cui si ottengono i valori $ n=1 $ e $ n=7 $. E' facile verificare che per n=7 si ricava $ p=19 $, mentre per $ n=1 $ non si ottengono soluzioni accettabili.
-$ \frac{9n_1}{9a} = 1, \frac{3n-1^2+n_1+1}{b} = p $, con $ 9a\cdot b=p-1 $ e $ a,b $ coprimi. Da qui si ottiene $ n_1=a $. Sostituendo e tornando agli n, si ottiene $ (3n-3)b^2=(n^2+n+1) $. Il delta di quest'equazione in n è $ 9b^4-18b^2-3=3(3b^4-6b^2-1) $. Per b intero, questo determinante non è mai un quadrato, (contiene un solo fattore 3), pertanto n e b non possono essere interi contemporaneamente, quindi questo caso non porta a soluzioni.
(nota: in teoria dovrei anche analizzare $ \frac{9(n_1^2 + 3n_1 + 1)}{9a}=1 $, ma siccome si risolve subito in un assurdo e per mancanza di allenamento perderei un secolo a scriverlo in latex, facci finta di averlo fatto e passo avanti
-$ M.C.D. (n-1, n^2+n+1) = 1 $
I casi sono analoghi ai precedenti:
- $ n-1 = p-1 $, $ n^2+n+1 = p $
Che non porta a soluzioni accettabili
-$ \frac{n-1}{c}=1 $, $ \frac{n^2+n+1}{d}=p $ $ c \cdot d = p-1 $
Si ottiene $ (n-1)d^2 + d - (n^2+n+1) = 0 $
Il delta è $ 4n^3 $, da cui si ottiene $ n=n_2^2 $; prendendo la soluzione positiva ricavo $ p =2n_2^2+n_2+2 $; andando a sostituire all'inizio non ottengo soluzioni accettabili.
-$ (n^2+n+1)d + 1 = (n-1) $
Che, essendo $ n^2+n+1 > n-1 $ e $ d>1 $, è ovviamente impossibile.
Pertanto, l'unica soluzione accettabile è $ p=19,n=7 $
Ho fatto gli ultimi passaggi di fretta, mi riservo di rifarli nel caso fossero sbagliati o poco chiari.
