$ p^2-p+1=n^3 $, con p primo.
Assicuro che è molto carino e tranquillamente fattibile (anche se rifarlo una seconda volta mi ha richiesto più tempo della prima, non si capisce bene come mai
)Ciao ciao, e buon lavoro!
Piacevole problemino [diofantea]
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darkcrystal
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Piacevole problemino [diofantea]
Comincio con l'avvisare che la fonte non è qualche strana gara ma giove, e poi passo al problema in sè: risolvere negli interi positivi
$ p^2-p+1=n^3 $, con p primo.
Assicuro che è molto carino e tranquillamente fattibile (anche se rifarlo una seconda volta mi ha richiesto più tempo della prima, non si capisce bene come mai )
Ciao ciao, e buon lavoro!
$ p^2-p+1=n^3 $, con p primo.
Assicuro che è molto carino e tranquillamente fattibile (anche se rifarlo una seconda volta mi ha richiesto più tempo della prima, non si capisce bene come mai
)Ciao ciao, e buon lavoro!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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come al solito spero di non dire troppe cavolate data la mia scarsa competenza in tdn...ci provo
Inazitutto mi sembra doveroso studiare la natura di n:
$ \dispaystyle \\ p^2-p+1=n^3 $
-Poniamo p pari: unica possibilità: $ \dispaystyle p=2 $: ugualianza non verificata
-Poniamo p dispari: tutti i restanti primi
Pertanto p è dispari, duanque il quadrato di p è dispari che sommato a p, dispari anch'esso, dà un numero pari che sommato a 1 restituisce un numero dispari.
Conclusione: n è dispari, intero e positivo.
Ora qualche passaggio algebrico
$ \dispaystyle \\ p^2-p+1=n^3 \\ p^2-p=n^3 -1 \\ p^2-p=(n -1)(n^2+n+1) \\ p(p-1)=(n -1)(n^2+n+1) $
A questo punto possiamo costruire un sistema di equazioni
Caso 1
$ \displaystyle \\ p=n-1 $
impossibile perchè se n è dispari, sottraendo 1 otteniamo un numero pari, ma p è dispari. Pertanto per questo caso niente soluzioni.
Caso 2
$ \displaystyle \\ p=n^2+n+1 $
Sostituendo questa espressione all'equazione di partenza otteniamo (sviluppati i calcoli) un'equazione in n che non ammette soluzioni tra i gli interi positivi.
Pertanto non ci sono soluzioni.
Caso 3
$ \displaystyle \\ p-1=n^2 +n+1 \\ p=n^2 +n+2 $
impossibile dato che il qudrato di n è dispari, n anche, pertanto sommati danno un numero pari, sommando 2 ancora un pari, pertanto verrebbe p un numero pari, che è impossibile. Anche in questo caso non ci sono soluzioni.
Caso 4
$ \displaystyle \\ p-1=n-1 \\ p=n $
sostituendo nell'equazione di partenza otteniamo:
$ \displaystyle \\ n^3-n^2+n-1=0 \\ (p-1)(p^2+1)=0 \\ p-1=0 \\ p^2+1=0 $
pertanto l'ultima equzione non ammette zeri, la penultima invece ha come zero n=1, quindi p=1.
Pertanto l'unica soluzione è
$ \displaystyle \\ n=p=1 $
Inazitutto mi sembra doveroso studiare la natura di n:
$ \dispaystyle \\ p^2-p+1=n^3 $
-Poniamo p pari: unica possibilità: $ \dispaystyle p=2 $: ugualianza non verificata
-Poniamo p dispari: tutti i restanti primi
Pertanto p è dispari, duanque il quadrato di p è dispari che sommato a p, dispari anch'esso, dà un numero pari che sommato a 1 restituisce un numero dispari.
Conclusione: n è dispari, intero e positivo.
Ora qualche passaggio algebrico
$ \dispaystyle \\ p^2-p+1=n^3 \\ p^2-p=n^3 -1 \\ p^2-p=(n -1)(n^2+n+1) \\ p(p-1)=(n -1)(n^2+n+1) $
A questo punto possiamo costruire un sistema di equazioni
Caso 1
$ \displaystyle \\ p=n-1 $
impossibile perchè se n è dispari, sottraendo 1 otteniamo un numero pari, ma p è dispari. Pertanto per questo caso niente soluzioni.
Caso 2
$ \displaystyle \\ p=n^2+n+1 $
Sostituendo questa espressione all'equazione di partenza otteniamo (sviluppati i calcoli) un'equazione in n che non ammette soluzioni tra i gli interi positivi.
Pertanto non ci sono soluzioni.
Caso 3
$ \displaystyle \\ p-1=n^2 +n+1 \\ p=n^2 +n+2 $
impossibile dato che il qudrato di n è dispari, n anche, pertanto sommati danno un numero pari, sommando 2 ancora un pari, pertanto verrebbe p un numero pari, che è impossibile. Anche in questo caso non ci sono soluzioni.
Caso 4
$ \displaystyle \\ p-1=n-1 \\ p=n $
sostituendo nell'equazione di partenza otteniamo:
$ \displaystyle \\ n^3-n^2+n-1=0 \\ (p-1)(p^2+1)=0 \\ p-1=0 \\ p^2+1=0 $
pertanto l'ultima equzione non ammette zeri, la penultima invece ha come zero n=1, quindi p=1.
Pertanto l'unica soluzione è
$ \displaystyle \\ n=p=1 $
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
mmm..credo che dovresti mettere un po d'ordine alle tue idee angus: innazitutto (caso1 e caso 3)sono equivalenti così come lo sono (caso 2 e caso4), prova a capire perchè..
comunque fino alla fattorizzazione e alla disparità di n ci siamo, il problema è ke manca qualche caso
in generale se vuoi continuare sulla tua strada puoi vedere che $ n^2+n+1>n-1 $ per cui $ p|n^2+n+1 $, ma attenzione, dividere non significa essere equivalente..spero di essere stato chiaro
comunque fino alla fattorizzazione e alla disparità di n ci siamo, il problema è ke manca qualche caso
in generale se vuoi continuare sulla tua strada puoi vedere che $ n^2+n+1>n-1 $ per cui $ p|n^2+n+1 $, ma attenzione, dividere non significa essere equivalente..spero di essere stato chiaro
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Piacevole problemino [diofantea]
Beh, in realtà questo è un Balkan 2005...darkcrystal ha scritto:Comincio con l'avvisare che la fonte non è qualche strana gara ma giove
caspita...ke vergogna...EvaristeG ha scritto:Btw, p=1 ??? p è primo, 1 no.
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
Re: Piacevole problemino [diofantea]
... bravo, già ti preparigiove ha scritto: Beh, in realtà questo è un Balkan 2005...
Allora, prima che arrivi eucla , ci provo ancora una volta...
allora...ricominciamo dalla fattorizzazione e teniamo sempre a mente le condizioni di n e p
Allora...
$ \dispaystile \\ p(p-1)=(n-1)(n^2+n+1) \\ (n-1)(n^2+n+1) \cdot \frac{1}{p}\cdot \frac{1}{p-1} = 1 $
Allora a questo punto per evitare di ripetere gli stessi errori facciamo un pò di ordine.
Inanzitutto siamo sicuri di non aver diviso per 0 dato che p è primo e p-1 è senzaltro maggiore di zero dato che p è maggiore di 1.
Detto ciò ci sono 2 grandi casi con relativi sottocasi (certo che le idee riesco ad esprimerle in modo fantastico
)
Va bè ironia a parte...
CASO 1
Abbiamo dei termini il cui prodotto è 1.
Pertanto tutti i termini devono esser uguali a 1.
$ \dispaystyle \\ n-1=1 \\ n^2+n+1=1 \\ \frac{1}{p}=1 \\ \frac{1}{p-1}=1 $
risolvendo tutti questi casi e utilizzando le condizioni che abbiano dato di n e di p oppure riconducendoli alla condizione iniziale, otteniamo che non ci sono soluzioni, ad esempio già nel primo caso abbiamo che n è 2, impossibile dato ch n deve esser dispari.
CASO 2
Qui entra in ballo la divisibilità, ovvero che se l'espressione deve valere 1, allora necessariamente si deve semplificare e si deve verificare:
$ \dispaystyle \\ n-1=p\\ n^2+n+1=p-1 $
Si devono vericare entrambe...
Oppure (caso equivalente)
$ \dispaystyle \\ n-1=p-1\\ n^2+n+1=p $
in ogni caso otteniamo $ \dispaystyle n^2=-3 $...
Per ovvie ragioni assurdo...
Pertanto, avendo eseminato tutti i casi non esistono soluzioni
, ci provo ancora una volta...allora...ricominciamo dalla fattorizzazione e teniamo sempre a mente le condizioni di n e p
Allora...
$ \dispaystile \\ p(p-1)=(n-1)(n^2+n+1) \\ (n-1)(n^2+n+1) \cdot \frac{1}{p}\cdot \frac{1}{p-1} = 1 $
Allora a questo punto per evitare di ripetere gli stessi errori facciamo un pò di ordine.
Inanzitutto siamo sicuri di non aver diviso per 0 dato che p è primo e p-1 è senzaltro maggiore di zero dato che p è maggiore di 1.
Detto ciò ci sono 2 grandi casi con relativi sottocasi (certo che le idee riesco ad esprimerle in modo fantastico
)Va bè ironia a parte...
CASO 1
Abbiamo dei termini il cui prodotto è 1.
Pertanto tutti i termini devono esser uguali a 1.
$ \dispaystyle \\ n-1=1 \\ n^2+n+1=1 \\ \frac{1}{p}=1 \\ \frac{1}{p-1}=1 $
risolvendo tutti questi casi e utilizzando le condizioni che abbiano dato di n e di p oppure riconducendoli alla condizione iniziale, otteniamo che non ci sono soluzioni, ad esempio già nel primo caso abbiamo che n è 2, impossibile dato ch n deve esser dispari.
CASO 2
Qui entra in ballo la divisibilità, ovvero che se l'espressione deve valere 1, allora necessariamente si deve semplificare e si deve verificare:
$ \dispaystyle \\ n-1=p\\ n^2+n+1=p-1 $
Si devono vericare entrambe...
Oppure (caso equivalente)
$ \dispaystyle \\ n-1=p-1\\ n^2+n+1=p $
in ogni caso otteniamo $ \dispaystyle n^2=-3 $...
Per ovvie ragioni assurdo...
Pertanto, avendo eseminato tutti i casi non esistono soluzioni
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
Non c'è bisogno di scaldarsi tanto...edriv ha scritto:Lemma di Agnus Siano $ ~ a,b,c,d $ interi tali che $ ~ ab = cd $. Allora $ ~ a=c,b=d $ oppure $ ~ a=d,b=c $.
Non ti spiego perchè è abbastanza assurdo... se ce lo spieghi tu è meglio!
ciao
mi pare di aver scritto tutto con una certa umiltà, quindi ho sempre sottolineato che tutto ciò può esser assurdo e far ridere...
Comunque dato che stiamo parlando di interi...
E comunque la tua osservazione andave bene per il mio primo post...nel secondo non ho utilizzato quella cosa...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
angus forse non te ne sei accorto ma hai rifatto lo stesso errore:coppie di interi diverse possono dare lo stesso risultato.Esempio:10*2=5*4.Il problema con quell'impostazione sta proprio in questo terzo caso che non hai preso in analisi:prevede riflessioni di divisibilità e non solo operazioni algebriche.
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
"And then one day you find,ten years have got behind you,no one told when to run,you missed the starting gun"
Certamente l'umiltà è molto apprezzata, e scusa se manco di questa dote. Spero mi scuserai se ho esagerato prima 
perchè se continuo a rispondere male a tutti gli utenti che provano i problemi del forum, creo veramente un problema io, cioè che qualcuno potrebbe avere paura a postare una soluzione, mentre andrebbe assolutamente incoraggiato, e se per caso c'è qualche errore, beh, sbagliando simpara, no? comunque io non sono per niente la persona adatta a far notare quanto più delicatamente possibile l'errore in una soluzione, perchè non saprei farlo delicatamente [e farlo delicatamente è senz'altro necessario, no?] e nemmeno non saprei spiegare in modo chiaro l'errore, a prova di questo è il fatto che prima non ho nemmeno cercato di farlo ed ho imposto di farlo a te, sempre ammesso che un errore ci sia, no? Mi dispiace abbastanza di questa storia... spero di poter cambiare... ma non è detto che io possa riuscirci a farlo. (comunque un noto teorista dei numeri del forum mi dice che l'equazione è assurda modulo 1)
perchè se continuo a rispondere male a tutti gli utenti che provano i problemi del forum, creo veramente un problema io, cioè che qualcuno potrebbe avere paura a postare una soluzione, mentre andrebbe assolutamente incoraggiato, e se per caso c'è qualche errore, beh, sbagliando simpara, no? comunque io non sono per niente la persona adatta a far notare quanto più delicatamente possibile l'errore in una soluzione, perchè non saprei farlo delicatamente [e farlo delicatamente è senz'altro necessario, no?] e nemmeno non saprei spiegare in modo chiaro l'errore, a prova di questo è il fatto che prima non ho nemmeno cercato di farlo ed ho imposto di farlo a te, sempre ammesso che un errore ci sia, no? Mi dispiace abbastanza di questa storia... spero di poter cambiare... ma non è detto che io possa riuscirci a farlo. (comunque un noto teorista dei numeri del forum mi dice che l'equazione è assurda modulo 1)va bè dai non è necessario farne una tragedia...
comunqe sò che è assurdo il "lemma di angus", che ho erroneamente utilizzato nella prima dimostrazione.
Invece riprendo velocemnte la seconda
$ \dispaystile \\ p(p-1)=(n-1)(n^2+n+1) \\ (n-1)(n^2+n+1) \cdot \frac{1}{p}\cdot \frac{1}{p-1} = 1 $
fin qui siamo daccordo?
E' lecito?
Bene...
ora abbiamo una serie di termini, sappiamo che il loro prodotto è 1.
Questo lo ritengo fondamentale.
Da qui nascono i due casi...
Ovvero:
o tutti i termini sono 1
oppure alcuni termini che sono al numeratore della frazione sono uguali ad alcuni che sono al denominatore(per semplificare)
Tutto ciò per ottenere 1 come prodotto...
Non mi sembra di aver utilizzato il lemma di angus...
un esempio più banale potrebbe essere
$ \displaystyle a \cdot b = 1 $
con a e b interi l'unica soluzione è
$ \displaystyle a=b=1 $
oppure come capita nel problema
$ \displaystyle a \cdot \frac{1}{b} = 1 $
dove le soluzioni sono
$ \displaystyle a= \frac{1}{b}=1 $
oppure
$ \displaystyle b=a $
Ecco quello che ho utilizzato nella seconda dimostrazione
comunqe sò che è assurdo il "lemma di angus", che ho erroneamente utilizzato nella prima dimostrazione.
Invece riprendo velocemnte la seconda
$ \dispaystile \\ p(p-1)=(n-1)(n^2+n+1) \\ (n-1)(n^2+n+1) \cdot \frac{1}{p}\cdot \frac{1}{p-1} = 1 $
fin qui siamo daccordo?
E' lecito?
Bene...
ora abbiamo una serie di termini, sappiamo che il loro prodotto è 1.
Questo lo ritengo fondamentale.
Da qui nascono i due casi...
Ovvero:
o tutti i termini sono 1
oppure alcuni termini che sono al numeratore della frazione sono uguali ad alcuni che sono al denominatore(per semplificare)
Tutto ciò per ottenere 1 come prodotto...
Non mi sembra di aver utilizzato il lemma di angus...
un esempio più banale potrebbe essere
$ \displaystyle a \cdot b = 1 $
con a e b interi l'unica soluzione è
$ \displaystyle a=b=1 $
oppure come capita nel problema
$ \displaystyle a \cdot \frac{1}{b} = 1 $
dove le soluzioni sono
$ \displaystyle a= \frac{1}{b}=1 $
oppure
$ \displaystyle b=a $
Ecco quello che ho utilizzato nella seconda dimostrazione
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui
