radici quarte (own)

[fede90]

Poniamo:
$ $a=\sqrt[4]{\Big(\frac{7-3\sqrt5}{2}\Big)};\ b=\sqrt[4]{\Big(\frac{7+3\sqrt5}{2}\Big)};\ a+b=x$ $

Ora eleviamo $ $x$ $ alla quarta:
$ $x^4=(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4=a^4+b^4+4ab(a^2+\frac{3}{2}ab+b^2)=$ $
$ $=a^4+b^4+4ab\Big[(a+b)^2-\frac{1}{2}\Big]=a^4+b^4+4ab\Big(x^2-\frac{1}{2}\Big)$ $

Siccome (bastano pochi calcoli) $ $ab=1$ $ e $ $a^4+b^4=7$ $ abbiamo che $ $x$ $ soddisfa l'equazione
$ $x^4=7+4\Big(x^2-\frac{1}{2}\Big)$ $
cioè
$ $x^4-4x^2-5=0$ $
la cui unica soluziona reale positiva è $ $x=\sqrt 5$ $