IUSS 2008

[ndp15]

Su, chi si avventura?

Io ho trovato questo metodo di "semplificazione graduale":
$ \displaystyle~ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 $
Cerco qualche k per cui esista una fattorizzazione di $ \displaystyle~ax^2+bxy+ky^2 $ e scrivo
$ \displaystyle~(m_1x+n_1y)(m_2x+n_2y)+\ldots=0 $ (nei puntini rimane eventualmente un $ \displaystyle~y^2 $ e i termini di grado < 2).
Ora moltiplico per poter fare una sostituzione furba:
$ \displaystyle~(2m_1m_2x+2n_1m_2y)(2m_1m_2x+2m_1n_2y)+\ldots=0 $
Sia z la media aritmetica (intera) dei due fattori: ora posso scrivere
$ \displaystyle~(z+ty)(z-ty)+\ldots=0 $
Ora rimane un termine in x che posso (moltiplicando, eventualmente) trasformare in z unendolo a y. Ci siamo ridotti a un'equazione così:
$ \displaystyle~az^2+by^2+cz+dy+e=0 $
$ \displaystyle~az^2-ay^2+(a+b)y^2+c(z+y)+(d-c)y+e=0 $
$ \displaystyle~(az-ay+c)(z+y)+\ldots=0 $
Stesso trucco di prima e otteniamo un'equazione del tipo:
$ \displaystyle~v^2+ay^2+by+c=0 $
Cerchiamo un k' per cui $ \displaystyle~ay^2+by+k' $ si scompone e facendo di nuovo la media arriviamo a:
$ \displaystyle~av^2+bw^2+c=0 $
$ \displaystyle~a^2v^2+abw^2+ac=0 $
$ \displaystyle~(av)^2-(-ab)w^2=(-ac) $, che è (penso) l'equazione di Pell, che si risolve (non so come...)
Tornando indietro nelle sostituzioni otteniamo delle soluzioni con x e y razionali. Ovviamente scegliamo quelle con x e y interi.

Non detestatemi per le continue ridefinizioni di a, b, c, d, e, ma altrimenti finivo le lettere dell'alfabeto!

Non hai per caso un esempio chiarificatore che non ho capito poi molto

[federiko97]

Su, chi si avventura?

Io ho trovato questo metodo di "semplificazione graduale

Uhm, l'idea sembra giusta, ora devi dimostrare che esiste un algortimo che ti trova in tempo finito tutte le soluzioni di una data equazione di Pell (come avrai notato, il tuo procedimento non porta ad equazioni di Pell in alcuni casi che però sono banali).

Una piccola precisazione: io non sono Tibor Gallai, anche perché sono nato alcuni mesi dopo la sua morte.

[jordan]

Indichiamo con P e Q generici polinomi in due variabili di gradi rispettivamente 2 e 1 e con p un polinomio di secondo grado in una variabile.

Vogliamo risolvere P+k=k, per qualche k intero, allora consideriamo P come un polinomio in x e imponiamo che il delta sia un qualche p_i in y, che è possibile poichè k è arbitrario se e solo se b^2-4ac è non nullo, dove a e c sono i coefficienti di x^2 e y^2 e b di xy. Perciò in quel caso esistono Q_1,Q_2 tali che il prodotto fa k. Altrimenti P=0 si puo riscrivere come Q_1=P_1^2, per qualche P_1,Q_1.

Ps. cambia stile di scrittura almeno

[kn]

Non hai per caso un esempio chiarificatore che non ho capito poi molto

Inventati un'equazione di secondo grado e ti faccio vedere come farei io a ridurla a un'equazione di Pell...

ora devi dimostrare che esiste un algortimo che ti trova in tempo finito tutte le soluzioni di una data equazione di Pell

Spero che ci abbia già pensato lui...

[Febo]

Vogliamo risolvere P+k=k, per qualche k intero, allora consideriamo P come un polinomio in x e imponiamo che il delta sia un qualche p_i in y, che è possibile poichè k è arbitrario se e solo se b^2-4ac è non nullo, dove a e c sono i coefficienti di x^2 e y^2 e b di xy. Perciò in quel caso esistono Q_1,Q_2 tali che il prodotto fa k. Altrimenti P=0 si puo riscrivere come Q_1=P_1^2, per qualche P_1,Q_1.

2 cose:

a) non si capisce niente, o quasi
b) se ho capito bene, tu vuoi trovare una costante k tale che P+k si fattorizzi in due termini lineari. Per far questo mi pare ti serva che $ b^2-4ac $ (cioè il coefficiente del termine di grado più alto in y del Delta al quadrato) sia un quadrato perfetto... (a,b,c sono come li hai definiti tu)

Se, come è probabile, ho capito male io, potresti rispiegare il tutto più chiaramente?

ora devi dimostrare che esiste un algortimo che ti trova in tempo finito tutte le soluzioni di una data equazione di Pell

Spero che ci abbia già pensato lui...

Purtroppo no. Da quel che so il signor Pell ha poco a che vedere con le equazioni di Pell che si chiamano così più o meno per caso...

[jordan]

2 cose:

a) non si capisce niente, o quasi
b) se ho capito bene, tu vuoi trovare una costante k tale che P+k si fattorizzi in due termini lineari. Per far questo mi pare ti serva che $ b^2-4ac $ (cioè il coefficiente del termine di grado più alto in y del Delta al quadrato) sia un quadrato perfetto... (a,b,c sono come li hai definiti tu)

Se, come è probabile, ho capito male io, potresti rispiegare il tutto più chiaramente?

Avevo dimenticato il caso dell'ellisse; per il resto vedi qui.
Nb. un accenno dovrebbe stare anche alle ultime pagine del Gobbino.

[Febo]

Quello che intendevo dire è che, anche se arrivi a casi del tipo Q_1Q_2=k, se i 2 polinomi non sono a coefficienti razionali (che è il caso se $ b^2-4ac $ non è un quadrato perfetto) non hai risolto niente...

Esempio $ (x-\sqrt{97}y)(x+\sqrt{97}y)=1 $ come lo risolvi?

[jordan]

Esempio $ (x-\sqrt{97}y)(x+\sqrt{97}y)=1 $ come lo risolvi?

$ P=(1,0) $ è soluzione. Prendi il fascio di rette passante per P a coefficiente angolare razionale e la metti a intersezione col fascio. Ti trovi tutte quelle razionali.

[Febo]

Esempio $ (x-\sqrt{97}y)(x+\sqrt{97}y)=1 $ come lo risolvi?

$ P=(1,0) $ è soluzione. Prendi il fascio di rette passante per P a coefficiente angolare razionale e la metti a intersezione col fascio. Ti trovi tutte quelle razionali.

2 cose:

1) cercavo solo di dirti che il metodo che avevi proposto sopra non funzionava, non che non ci fosse un modo per risolverle...

2) è vero, trovi tutte le soluzioni razionali, ma noi cercavamo quelle intere. E, mi spiace dirtelo, per verificare quali soluzioni razionali siano intere devi risolvere un'altra equazione di Pell...

[jordan]

2 cose:

1) cercavo solo di dirti che il metodo che avevi proposto sopra non funzionava, non che non ci fosse un modo per risolverle...

2) è vero, trovi tutte le soluzioni razionali, ma noi cercavamo quelle intere. E, mi spiace dirtelo, per verificare quali soluzioni razionali siano intere devi risolvere un'altra equazione di Pell...

Ah ma allo ce l'hai con me? Tutte le soluzioni alla tua equazione sono parametrizzate da $ x=1-\frac{2}{1-97m^2}, m \in \mathbb{Z} $, e mi pare non ci siano commenti.
Cerco di riassumere: tutte le coniche di secondo grado sono riconducibili a una delle forme:
i) $ X^2-Y^2=k \in \mathbb{Z}, |k|\le 1 $ se e solo se $ b^2-4ac>0 $.
ii) $ X^2+Y^2=1 $ se e solo se $ b^2-4ac<0 $.
ii) $ Y=X^2 $ se e solo se $ b^2-4ac=0 $.
E solo il secondo creerebbe "problemi" se lo fattorizzi (è l'unico in cui puoi farlo), il che è evitabile trovando tutte le soluzioni razionali.

[Febo]

2 cose:

1) cercavo solo di dirti che il metodo che avevi proposto sopra non funzionava, non che non ci fosse un modo per risolverle...

2) è vero, trovi tutte le soluzioni razionali, ma noi cercavamo quelle intere. E, mi spiace dirtelo, per verificare quali soluzioni razionali siano intere devi risolvere un'altra equazione di Pell...

Ah ma allo ce l'hai con me? Tutte le soluzioni alla tua equazione sono parametrizzate da $ x=1-\frac{2}{1-97m^2}, m \in \mathbb{Z} $, e mi pare non ci siano commenti.

Sì, ce l'ho con te Poi penso che la parametrizzazione sia con m razionale (non intero) in quanto altrimenti ci sarebbero un po' poche soluzioni [ma immagino sia un errore di battitura].. Ma, a parte tutto il resto su cui ancora ho dei dubbi, come fai a determinare per quali m razionali $ \frac{2}{1-97m^2} $ è intero?

[jordan]

Hai fatto bene ad avercela con me, sbagliavo . Quell' $ m \in \mathbb{Z} $ non era uno errore di copiatura, ma un errore bello e buono (ho dimenticato anche di mettere x=1!). Adesso ti direi, riprendi la tua fattorizzazione con $ \alpha=\sqrt{97} $ e risolvila in $ \mathbb{Z}[\alpha] $, ma guarda caso è lo stesso metodo di Pell alla fine..non ho scampo
Comunque, un metodo s'è trovato no?