cesenatico 2001

[Maioc92]

lo si dimostra o a occhio, dimostrazione che piace molto ai correttori, o per induzione

Secondo me per induzione non riesci a dimostrarlo....comunque in effetti è davvero possibile verificare: infatti per la disuguaglianza di bernoulli a^n>=n*(a-1)+1, da cui ricaviamo che se a^n=kn allora perchè sia possibile k>a-1. Detto questo si possono provare per ogni k divisore di 2001 tutti gli a che vanno da 1 a k. E' vero che sono una marea di casi e non so nemmeno se può valere come dimostrazione, però formalmente scrivere si può verificare non è quindi del tutto sbagliato...

Come lo dimostreresti per induzione?

[Reginald]

lo si dimostra o a occhio, dimostrazione che piace molto ai correttori, o per induzione

Come lo dimostreresti per induzione?

Allora il problema era $ b*2001=a^b*d $. Questo implica che $ 23*29*3|d*a^b $. Allora o a è uno o nella sua fattorizzazione compare uno( o più) tra i seguenti fattori: 3,23,29.
A questo punto analizziamo tutti i casi singoli, cioè vediamo cosa succede se a=3,a=23,a=29,a=23*3, a=29*3,a=23*29,a=23*29*3 ..Analizzo il caso a=3 per primo, che implica d=23*29*k dato che 2001|d*a^b:

$ 23*3*29*b=(23*29)k*3^b $. Semplifico il d:$ 3*b=k*3^b $
Dimostro ora per induzione che $ 3*b<3^b $ per ogni 1<a. Il caso con a=2 è banalmente vero. Per ipotesi induttiva pongo vero il caso $ 3*b<3^b $ e guardo cosa succede nel caso $ 3*(b+1)<3^{b+1} $.
$ 3*(b+1)<3^{b+1} $.
$ 3*b+3<3*3^{b} $. Per ipotesi induttiva $ 3*b<3^b $.Ora dimostro che addirittura$ 3^b+3<3*3^b $.
$ 3<2*3^b $ VERO. Se questo è vero, necessariamente è vero anche $ 3*b+3<3*3^{b} $ dal momento che per ipotesi induttiva $ 3*b<3^b $. Come ho scritto sopra si può fare una dimostrazione grafica, scrivendo la curva
$ y=3^x $ e la curva $ y=3x $.
Tutti gli altri casi,cioè con a=23,a=29,a=23*3,a=23*29,a=29*3,a=29*23*3, sono analoghi.

@julio14:Dico che lo faccio a occhio perchè la dimostrazione che ho scritto sopra ormai la so a memoria da quante volte la ho usata, la hanno fatta pure vedere ad uno stage..dalle mie parti..ed il prof dimostrandola ci ha chiesto se qualcuno dubitasse della sua veridicità,"dato che il 7 (in quell'occasione era x*2007=7^x il problema) esplode subito!!"...sue parole testuali...quindi pensavo fosse nota, cioè fosse stata vista e riconosciuta da tutti..è la prima cosa che penso quando vedo cose del tipo a*b=c^b o robe simili...però è vero...forse avrei dovuto scriverla..o almeno citare l'uso del grafico, dato che alla fine non servono fogli mooooolto grandi..chiedo perdono

[Maioc92]

A questo punto analizziamo tutti i casi singoli, cioè vediamo cosa succede se a=3,a=23,a=29,a=23*3, a=29*3,a=23*29,a=23*29*3 ..Analizzo il caso a=3 per primo, che implica d=23*29*k dato che 2001|d*a^b:

$ 23*3*29*b=(23*29)k*3^b $. Semplifico il d:$ 3*b=k*3^b $
Dimostro ora per induzione che $ 3*b<3^b $ per ogni 1<a. Il caso con a=2 è banalmente vero. Per ipotesi induttiva pongo vero il caso $ 3*b<3^b $ e guardo cosa succede nel caso $ 3*(b+1)<3^{b+1} $.
$ 3*(b+1)<3^{b+1} $.
$ 3*b+3<3*3^{b} $. Per ipotesi induttiva $ 3*b<3^b $.Ora dimostro che addirittura$ 3^b+3<3*3^b $.
$ 3<2*3^b $ VERO. Se questo è vero, necessariamente è vero anche $ 3*b+3<3*3^{b} $ dal momento che per ipotesi induttiva $ 3*b<3^b $. Come ho scritto sopra si può fare una dimostrazione grafica, scrivendo la curva
$ y=3^x $ e la curva $ y=3x $.
Tutti gli altri casi,cioè con a=23,a=29,a=23*3,a=23*29,a=29*3,a=29*23*3, sono analoghi.

ah ma quindi per induzione intendevi questo!!!!!Questa era anche la mia idea cioè esaminare tutti i casi. Io pensavo che tu intendessi una dimostrazione generale che in effetti mi sembrava impossibile. Ora è tutto più chiaro

PS:per i grafici non serve tanto spazio, soprattutto se devi disegnare solo 1 esponenziale e una retta. Io li faccio in pochi centimetri e anche abbastanza disordinati....devo sperare che i correttori non siano precisi al millimetro