cesenatico 2001

Noemi91x · Messaggio da **Noemi91x** » 26 apr 2009, 20:19

Stavo provando a risolvere questo problema,incontrando qualche difficoltà con il punto b..spero che qualcuno mi posso aiutare

Si consideri l'equazione

x^2001=y^x

a)determinare tutte le coppie (x,y) di soluzioni in cui x è un numero primo e y è un intero positivo
b)determinare tutte le coppie (x,y) di soluzioni in cui x e y sono interi positivi

Reginald · Messaggio da **Reginald** » 26 apr 2009, 20:58

Allora..il problema era $ x^{2001}=y^x $. Ricordo che 2001=23*29*3. Risolvo prima il caso (1). x puo essere solo o 23 o 29 o 3, questo perchè se $ x^{2001}=y^x $ e x,y, sono interi positivi, y e x hanno una fattorizzazione del tipo $ x=p_1^a...p_n^b;y=p_1^h....p_n^c $. Questo significa che $ y=x^d $(a)oppure $ x=y^d $(b) altrimenti non si potrebbe dire che $ x^{2001}=y^x $.
(a):$ x^{2001}=x^{d*x}\implies 2001=d*x\implies x=3,23,29 $ dato che x è primo...
(b)$ x=y^d\implies d*2001=x\implies d*2001=y^d $. y deve essere divisibile per 2001, allora si vede subito che funziona solo con il caso d=1 perchè $ d*2001<(2001*k)^d $.

Per il punto (2) si procede sulla falsa riga dell'1...Spero di non aver fatto errori, e spero di essere stato chiaro nonostante la fretta, dato che devo fuggire....tutta colpa del latino

..

SkZ · Messaggio da **SkZ** » 26 apr 2009, 21:01

$ $y=x^{\frac{2001}{x}} $

ok: anticipato
Tutta colpa del bucato!

Reginald · Messaggio da **Reginald** » 26 apr 2009, 21:10

SkZ ha scritto:ok: anticipato
Tutta colpa del bucato!

Tra bucato e latino non c'è più tempo per fare matematica, o (soprattutto) per del sanissimo cazzeggio.....

julio14 · Messaggio da **julio14** » 26 apr 2009, 21:14

Reginald ha scritto:Questo significa che $ y=x^d $(a)oppure $ x=y^d $(b) altrimenti non si potrebbe dire che $ x^{2001}=y^x $.

Con x primo funziona e sei sicuro che sia la prima delle due, ma qua non hai ancora parlato di x primo: in questo caso il ragionamento non regge, per esempio $ $4^5=32^2 $ eppure 32 non è potenza di 4 (né tantomeno il contrario).
In sostanza: il punto a) funziona, il punto b) no.

edit: vedo ora che il tuo punto 2) è il suo b)... beh allora il tuo b) funziona, ma è superfluo che essendo x primo è ovvio che non è x=y^k, mentre il 2) non si farà identico all'1) ma servirà qualcosa in più

Noemi91x · Messaggio da **Noemi91x** » 26 apr 2009, 22:07

scusate la mia incapacità ma non mi è ancora chiaro il punto b

Maioc92 · Messaggio da **Maioc92** » 26 apr 2009, 23:01

segui il suggerimento di Skz......
se y=x^(2001/x) per il punto a puoi accettare solo le soluzioni x=29,23,3 mentre per il punto b nn hai la restrizione di x che deve essere primo quindi puoi prendere tutti i valori di x per cui x^(2001/x) è intero, ossia tutti i divisori di 2001 e i corrispondenti valori di y.
Quindi le soluzioni saranno:
x=3 y=3^667
x=23 y=23^87
x=29 y=29^69
x=1 y=1
x=69 y=69^29
x=87 y=87^23
x=667 y=667^3
x=2001 y=2001

julio14 · Messaggio da **julio14** » 26 apr 2009, 23:13

perché solo i divisori di 2001? anche $ $4^\frac12 $ è intero

cioè è giusto, ma va giustificato. Che se ad esempio al posto di 2001=3*23*29 mettevamo 2*23*29 anche x=4 andava bene come soluzione, eppure 4 non divide 2*23*29

tutto questo mio rompiballismo ha un motivo: controllate, almeno nella vostra testa, ogni passaggio, dovete essere sicuri di poter spiegare ogni cosa in termini più semplici. Non so i correttori ufficiali, ma io per una cosa così toglierei punti, anche se è giusto. Come recitano le Gobbiniane Scritture: "un risposta corretta senza dimostrazione ha un valore sostanzialmente nullo"

Maioc92 · Messaggio da **Maioc92** » 27 apr 2009, 14:21

allora provo a dimostrarlo anche se non sono del tutto sicuro del procedimento....
poniamo 2001/x=m/n dove n e m sono interi primi tra loro. A questo punto perchè y sia intero deve essere x=a^n.
quindi abbiamo la relazione a^n=n/m*2001 cioè m*a^n=n*2001
Poichè m/n è una frazione ridotta ai minimi termini m deve essere un divisore di 2001. A questo punto si può verificare che l'uguaglianza è soddisfatta solo da n=1, ovvero 2001/x=m che è il caso in cui x è divisore di 2001.
Cosi può andare o ho sbagliato ancora?

julio14 · Messaggio da **julio14** » 27 apr 2009, 18:56

Maioc92 ha scritto:A questo punto si può verificare che l'uguaglianza è soddisfatta solo da n=1

Ok, era questo il passaggio logico che mancava. A dire il vero è ancora sottinteso, però abbastanza evidente da essere compreso. (quel "si può verificare" andrebbe sostituito con "2001 ha solo fattori primi con esponente 1")

Maioc92 · Messaggio da **Maioc92** » 27 apr 2009, 19:26

julio14 ha scritto:
Maioc92 ha scritto:A questo punto si può verificare che l'uguaglianza è soddisfatta solo da n=1
Ok, era questo il passaggio logico che mancava. A dire il vero è ancora sottinteso, però abbastanza evidente da essere compreso. (quel "si può verificare" andrebbe sostituito con "2001 ha solo fattori primi con esponente 1")

a dire il vero io con si può verificare intendevo sostituire a m i divisori di 2001 e vedere che l'equazione diventava in tutti i casi impossibile per n diverso da 1.
Comunque sei sicuro che basti dire che 2001 ha solo fattori primi con esponente 1 per dimostrare che n=1? Ad esempio come hai fatto notare tu prima anche 1334 ha solo fattori primi con esponente 1 però in questo caso n può essere anche 2.
Tu come faresti a dimostrarlo?

In ogni caso grazie perchè se tu non fossi stato cosi pignolo come tu stesso hai detto io non avrei imparato niente, e credo sia meglio imparare qualcosa piuttosto che sentirsi dire che quello che hai fatto è perfetto anche se non è vero

Reginald · Messaggio da **Reginald** » 27 apr 2009, 20:28

Il problema era: $ x^{2001}=y^x $. Sia x che y possono essere scritti rispettivamente come $ a^b;c^d $ dato che sia b che d possono essere uno. Ora, diciamo che $ x=a^b $ e b è il più grande intero possibile(possibile nel senso "possibile affinchè a^b sia x"), e lo stesso discorso per y: $ y=c^d $. Ora, la cosa interessante è che se $ x^{2001}=y^x\implies c=a\implies a^{b*2001}=a^{d*x} $. A Questo punto ho: $ b*2001=d*a^b $. Il problema (1) implicava x primo, quindi b=1 ed a è primo. $ 2001=d*a $. a può essere solo 3,23,29.
Il problema (2) non aveva questa restrizione, quindi $ b*2001=d*a^b $. A questo punto io le ho provate tutte;
Se a=2001 allora b=1.
Se a=23 allora b=1 e lo stesso per a=29.
Se a=69 b è 1 e lo stesso per a=87, a=667.
Se a=1 allora, va bene ogni b, ma tornando all'equazione di partenza ci si accorge che se a=1 allora x=y=1. A questo punto penso basti sostituire i vari b e d, e trovarsi tutti gli x e y e quelli dovrebbero essere i risultati....Aspetto conferma da julio14...

Se il problema era 2*23*29 allora, tenendo la stessa "nomenclatura" $ b*23*29*2=d*a^b $ per a=2 poteva funzionare anche b=2, cosa che prima non succedeva. Quindi una soluzione sarebbe stata tra i "non divisori" di 2*29*23, e precisamente era$ a^{b*23*29*2}=a^{d*x} $ e quindi $ 4^{23*29*2}=2^{23*29*2^2} $.

Comunque julio, Sono ASSOLUTAMENTE d'accordo con Maioc92:prima cosa adesso ho imparato qualcosa, e poi se non c'è qualcuno che sbaglia e qualcun'altro che lo corregge questo forum non avrebbe senso, basterebbe guardare le soluzioni ufficiali, non credi?

julio14 · Messaggio da **julio14** » 27 apr 2009, 21:20

Maioc92 ha scritto:Tu come faresti a dimostrarlo?

mmm a dire il vero in effetti hai solo rigirato il problema da un altro lato... e io mi sono confusoXD ed effettivamente, non basta neanche sostituire i vari m. Per farla rigorosa, prendiamo a^n=kn. Prendi in considerazione il numero di fattori primi di n $ $\delta (n) $: se $ $a\neq1 $, è molto minore di n, quindi anche di $ $\delta (a^n) $. Quindi abbiamo $ $\delta (a^n)-\delta (n) $ fattori primi da "colmare" con k. Prendendo in considerazione un solo fattore primo, k può fornire al massimo un fattore per 3, uno per 23 e uno per 2001. Solo che $ $\delta (a^n)-\delta (n)=1 $ solo per n=2 (si dimostra abbastanza facilmente: nel caso "migliore" con $ $a $ primo hai $ $\delta (a^n)=n\rightarrow n-\delta (n)=1 $ e questo è più che ovvio che vale solo per n=2, formalizzarlo viene abbastanza brutto. Lo fai sui primi, e viene facile, estendi alle potenze di primi, e da lì a un numero generico). Detto ciò, visto che già con 3 hai $ $3-\delta (3)=2 $, non riusciamo con il 2001 a colmare la "mancanza" di primi in n.
Ho cercato di fare una via di mezzo tra il formale e il comprensibile, spero si capisca.

Reginald ha scritto:Il problema (2) non aveva questa restrizione, quindi b*2001=d*a^b. A questo punto io le ho provate tutte

Ma b non ha restrizioni! (almeno non immediate). Quindi a non è detto che sia un divisore di 2001.

Reginald · Messaggio da **Reginald** » 28 apr 2009, 16:58

julio14 ha scritto:
Reginald ha scritto:Il problema (2) non aveva questa restrizione, quindi b*2001=d*a^b. A questo punto io le ho provate tutte
Ma b non ha restrizioni! (almeno non immediate). Quindi a non è detto che sia un divisore di 2001.

Infatti, non ho mica detto che b ha restrizioni...per provarle tutte intendevo dire che, dal momento che non esiste 1<b tale che $ b*2001=d*a^b $(infatti dato che $ 2001|d*a^b $ comunque"costruisci" a con i fattori 3,23,29; b non può che essere 1...lo si dimostra o a occhio, dimostrazione che piace molto ai correttori, o per induzione....o, se hai dei fogli moooolto grandi, graficamente

), allora b deve essere 1. A questo punto ci si accorge che a può essere qualunque divisore di 2001.

julio14 · Messaggio da **julio14** » 28 apr 2009, 21:19

Reginald ha scritto:o si dimostra o a occhio, dimostrazione che piace molto ai correttori, o per induzione....o, se hai dei fogli moooolto grandi, graficamente ), allora b deve essere 1.

Vedi tutta quella pappardella che ho scritto sopra? Non l'ho fatta mica per nulla, eh. È una traccia di formalizzazione (chiamarla formalizzazione mi sembra esagerato) della dimostrazione "ad occhio".