OliForum Matematico

Non è sbagliato che siano complanari. Anzi, è vero, e (come dissi sopra) banale.
E' errata la proposizione principale, ovvero: "Hai mostrato".

No "hai mostrato" era riferito al ragionamento di Davide90, con la tua aggiunta sulla complanarità di A, B, C e D. Insomma, al posto mettici pure un "avete mostrato"

Ah ok ok. Sorry.

Uh, ho anch'io una soluzione carina. Mettiamo tutto in uno spazio xyz (tranquilli, niente calcoli di analitica, è solo per capirsi), con uno spigolo con vertici (-1,0,0) (1,0,0) e lo spigolo opposto (0,-1,h) (0,1,h). A questo punto i punti medi hanno ovviamente tutti coordinata z=h/2, quindi sono complanari su un piano parallelo a xy, possiamo quindi proiettare il tutto su xy senza che il quadrilatero cambi, e il problema diventa "dimostrare che i punti medi dei lati di un quadrato formano un quadrato".

julio14, quella è la soluzione analitica, vietata dal testo...

Beh non è proprio analitica... ho usato xyz solo per capirsi, sarebbe stato identico mettere un'immagine della proiezione del tetraedro. Non ho fatto conti per calcolare che i lati sono uguali etc.
mmm forse il fatto del complanare è analitico... ma qua si è proprio al confine di ciò che è sintetico e di ciò che non lo è

Mettere in coordinate è analitico, mettere un'immagine della proiezione è come sparare l'analitica e nascondere la mano, etc. Nessuno ha mai parlato di non fare conti, solo di non usare l'analitica.
Comunque è la dimostrazione più sensata tra quelle che conosco, posto che si dimostri (questione da nulla, comunque) che un tetraedro regolare in coordinate ha quella forma. Lo so che è banale, ma in questi casi in cui dobbiamo "fingerci ciechi" per dimostrare qualcosa di ovvio, è sempre difficile capire cosa dare per buono e cosa no.