Quadrato nel tetraedro

[Giulius]

Dimostrare che in un tetraedro regolare escludendo due spigoli opposti, i punti medi degli spigoli restanti sono vertici di un quadrato
(possibilmente non con l'analitica... )

[kn]

[size=0]basta ruotarlo[/size]

[Tibor Gallai]

Dimostrare che in un tetraedro regolare escludendo due spigoli opposti, i punti medi degli spigoli restanti sono vertici di un quadrato
(possibilmente non con l'analitica... )

E' che di solito, per dimostrare fatti auto-evidenti, ci si riduce al formalismo. Ma tu stai esplicitamente chiedendo di non ricorrere a formalismo...

[Giulius]

Lol...così va bene?

PS: per chi ritiene il poblema auto - evidente, lo lasci a qualche utente più giovane...

[Davide90]

I lati del quadrilatero in questione sono tutti paralleli alle basi di ogni triangolo equilatero e congruenti a metà base per il teorema di Talete.
Le diagonali del quadrilatero invece non sono altro che la distanza tra due coppie di lati opposti: ma in un poliedro regolare questa distanza è costante (questa affermazione andrebbe giustificata in modo più rigoroso? ), dunque il quadrilatero ha lati e diagonali congruenti, perciò è un quadrato.

[Tibor Gallai]

Lol...così va bene?

Mah... Visto che me lo chiedi (sperando che non sia una domanda retorica...):
va bene, come andava bene prima. Nel senso che prima era un po' spiazzante per via della sottile contraddizione intrinseca. Invece, ora sembra che tu abbia deliberatamente impoverito un problema per fare un favore a me, tra l'altro fraintendendo completamente la mia osservazione.

Se accetti un consiglio, lascia la clausola di non usare l'analitica, altrimenti il problema è un po' "sprecato", secondo me. Nel senso che cannoneggiandolo con l'analitica si rischia di perdere di vista l'intuizione del perché il teorema è vero, e noi non vogliamo questo. Almeno, io no.

[Tibor Gallai]

(questa affermazione andrebbe giustificata in modo più rigoroso? )

Ecco, questo è proprio il punto: non ti si può rispondere poiché è questione di opinioni. Quindi la filosofia migliore è: se non sei convinto che ciò sia vero, vai avanti a "dimostrare" fino a convincertene. Se pensi che sia auto-evidente, fermati.

Quello che invece dovresti menzionare esplicitamente è che i 4 punti sono complanari, che seppur banale non va dimenticato... Qui è una buffonata, ma in altri problemi 3d l'abitudine ad avere tutto sempre complanare gioca brutti scherzi.

[Giulius]

@Tibor: consiglio accettato
però non ho capito questo

E' che di solito, per dimostrare fatti auto-evidenti, ci si riduce al formalismo. Ma tu stai esplicitamente chiedendo di non ricorrere a formalismo...

cosa intendi con formalismo?

@Davide90: va bene, la cosa da giustificare è che i punti sono complanari, il che non è sempre detto in generale

[Davide90]

Dunque, il passaggio in corsivo direi che si possa esplicitare come segue: qualunque rotazione, con centro nel centro del tetraedro, che manda un vertice in un altro vertice lascia invariato il tetraedro. Quindi è possibile individuare una rotazione che mandi una delle due diagonali in un'altra diagonale.
Per il discorso della complanarità dei punti, si può riutilizzare questo discorso o qualcosa di simile?

[Tibor Gallai]

cosa intendi con formalismo?

Allora, il formalismo è ciò a cui il matematico ricorre quando non capisce più una mazza e sta brancolando alla cieca, oppure quando ha capito tutto perfettamente ma vuole darsi un tono, e nel contempo farsi ulteriori pippe mentali.

Quindi qui siamo nel secondo caso. Poiché basta un disegnino, o nemmeno quello, per rendersi conto della verità del claim, sorge un problema non da poco: tizio ci sta dicendo "dimostrare che". Come facciamo? Dobbiamo porci in un formalismo, ridurre il problema in formule, manipolare formule, ed ottenere una formula che equivalga alla tesi. Nel caso del problema qua, dobbiamo usare l'analitica. Acc, tizio ce l'ha vietato.

[Tibor Gallai]

Per il discorso della complanarità dei punti, si può riutilizzare questo discorso o qualcosa di simile?

Io vedo 2 modi.

1) Due lati opposti del quadrilatero sono paralleli ad uno stesso spigolo del tetraedro, e segmenti paralleli sono complanari.

2) Calcola (con Pitagora) le lunghezze delle diagonali del quadrilatero, e mostra che hanno la lunghezza "giusta" per essere le diagonali di un quadrato. Questo implica la complanarità. Ma attento ai dettagli e a non morderti la coda quando applichi Pitagora.

[kn]

I lati del quadrilatero in questione sono tutti paralleli alle basi di ogni triangolo equilatero e congruenti a metà base per il teorema di Talete.

Da qui si poteva concludere così (v. figura):
Hai mostrato che ABCD è un rombo. I piedi delle perpendicolari da G e H a EF coincidono con il punto medio M di EF, di conseguenza il piano per G, H e M è perpendicolare a EF. BC (sempre per Talete) è parallelo a GH: esiste un piano per BC parallelo a quello per G, H e M. Quindi anche questo piano è perpendicolare a EF e ad AB (parallelo ad EF). Perciò BC è perpendicolare ad AB.
Un rombo (ABCD) con almeno un angolo retto è un quadrato. FINE

Bonus che non c'entra niente (di EvaristeG): Dimostrare che per tre circonferenze non complanari e tangenti a due a due passa una e una sola sfera (o meglio, superficie sferica). Diciamo che due circonferenze sono tangenti se si incontrano in un punto in cui le rette tangenti coincidono.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

beh, ci sono anche soluzioni carine:

fatto noto: il poliedro con vertici i punti medi del tetraedro è l'ottaedro e l'ottaedro è l'unione di due piramidi a base quadrata.

oppure utilizzando questa semplice proprietà:



risulta evidente che il quadrilatero che si viene a formare unisce i centri delle facce laterali di un cubo e quindi è un quadrato.

[Tibor Gallai]

Hai mostrato che ABCD è un rombo.
[...]
Un rombo (ABCD) con almeno un angolo retto è un quadrato. FINE

E' bello vedere che la gente legge le mie stronzate.
A seconda di come definisci "rombo" nello spazio, una delle 2 affermazioni che ho citato è errata.
Sempre per il discorso della complanarità...

[kn]

Scusa cosa c'è di sbagliato?
Con Talete mostri che A, B, C e D sono complanari. Sempre con Talete mostri che $ ~AB=BC=CD=AD=\frac{1}{2} $del lato del tetraedro. Quindi ABCD è un rombo nel piano che lo contiene...