OliForum Matematico

exodd ha scritto:Vedete che è uno dei quesiti di ammissione al senior..

giuro che non ne sapevo niente, me l'ha proposto un amico (che non partecipa alle olimpiadi)

Ma non ho capito, sarebbe quindi meglio non postare la soluzione sul forum o non è un problema?
Detto questo non sono ancora riuscito a risolverlo

Penso che sui problemi di ammissione al Senior si possa discutere anche sul forum, tanto c'è già la soluzione nei video (e poi è il problema di TdN olimpica più difficile che abbia mai visto )

kn ha scritto:Penso che sui problemi di ammissione al Senior si possa discutere anche sul forum, tanto c'è già la soluzione nei video)

ah bene
mi sai dire esattamente di che video si tratta?

kn ha scritto:Penso che sui problemi di ammissione al Senior si possa discutere anche sul forum, tanto c'è già la soluzione nei video (e poi è il problema di TdN olimpica più difficile che abbia mai visto )

ma succede solo a me o è un problema della registrazione il fatto che sparisca l'audio nel momento in cui piever inizia a spiegare la soluzione di questo problema??

Hint: x^2-x+1|2^(y-1)+(x-1)^2

Maioc92 ha scritto:

kn ha scritto:Penso che sui problemi di ammissione al Senior si possa discutere anche sul forum, tanto c'è già la soluzione nei video (e poi è il problema di TdN olimpica più difficile che abbia mai visto :shock: )

ma succede solo a me o è un problema della registrazione il fatto che sparisca l'audio nel momento in cui piever inizia a spiegare la soluzione di questo problema??

Appena controllato, è un problema della registrazione.

mmm beh, io ci provo ( premetto che si usa il martello pneumatico, anche se si usa la discesa infinita... se uno trova un diostrazione più elegante gli sono grato... anche perchè dubito che la mia sia corretta...)

Allora:

Se $ y=0 $ allora si hanno le due soluzioni $ (x,y) $ equivalenti a $ (-2,0) $ e $ (0,0) $ ( lo so, zero non è positivo e -2 nemmeno, ma mi serve come preliminare....)
pongo quindi $ y \ne 0 $ e inizio il problema...

Se $ y\ne 0\rightarrow x=2k+1 $.
Sviluppando l'espressione si ottiene $ 8k^3 +12k^2 +10k+4 = 2^{y} $...
Divido ambo i mebri per due e ottengo:
$ 4k^3 + 6k^2 + 5k +2 = 2^{y-1} $ che chiaramente non ha soluzioni intere per $ y=1 $ poichè è chiaro che il prodotto delle stesse sarebbe $ \frac{1}{4} $ ( e siccome il prodotto di nuemri naturali è un numero naturale, ciò è assurdo.). Ergo $ y\ne 1 $. Da qui noto che $ k $ deve essere pari e quindi $ k=2m $ da cui ottengo che $ 16m^3 +12m^2 +5m+1 = 2^{y-2} $che mi esclude $ y=2 $ poichè, nel caso lo fosse, si avrebbe che il prodotto delle soluzioni del precedente polinmio in m sarebbe -1, il che, supponendo le soluzioni in N, è assurdo. da qui noto poi che $ m= 2j+1 $. Sostituendo e dividendo come sopra si ha che :
$ 64j^3 +120j^2 +77j +17 = 2^{y-3} $. Da qui escludo che y sia uguale a tre poichè, se y lo fosse, si avrebbe il prodotto delle soluzioni pari a
$ \frac{16}{64} $... Chiaramente assurdo se si suppone che le soluzioni $ \in \mathbb{N} $. Ma attenzione: sono tornato nella situazione di prima, quando lavoravo col polinomio in m, in cui i coefficenti sono , in ordine,
$ pari,pari,dispari,dispari $.
( e qui è il passaggio logico che mi mette qualche dubbio).

Quindi, applicando reiteratamente $ k-volte $ il processo di sostituzione che ho applicato nel polinomio in $ m $ sopra, si torna sempre ad un polinomio con la stessa "struttura", che rende impossibile che y sia pari a $ 2+k $.

Così all'infinito. Ne segue che l'equazione non ha soluzioni intere.

Corretto ? ( scommetto che troverete che l'ultima passaggio è sbagliato attendo conferma....)

Ma dove sostituisci M una soluzione c'è, infatti è m=0 e y=2... da cui deriva k=0, da cui deriva x=1

è vero, pardon, provo a correggermi,ma a questo punto credo che sia tutto sbagliato...
è successo perchè io guardavo che tutte le soluzoni siano naturali, non solo una....
[/quote]

tre hint in "ordine crescente", almeno secondo me xD
Hint1: x^3+2x+1=(x+1)(x^2-x+3)-2
Hint2: x=5 mod 8, quindi x^2-x+3=7 mod 8
Hint3: -2 è residuo quadratico sse p=1,3 mod 8

taifu ha scritto:Determinare tutti gli $ ~ x,y $ interi positivi tali che $ x^3+2x+1=2^y $

stò appena cominciando a vedere i problemi di teoria dei numeri, per cui non farò bene di sicuro, però ci provo, allora...

io farei così:

intanto se si sommano i coefficienti (compreso il termine noto) alterni si ottiene $ +2 $ e $ +2 $ quindi 2 numeri con stesso modulo e concordi positivi, quindi si possono scomporre per $ (x+1) $

ed ottengo $ (x+1)(x^2 + 1) = 2^y $

a questo punto mi viene da dire che non esistono $ x $ interi positivi per cui $ A(x) = 2^y $

per gli $ y $ per ora non mi viene in mente come fare, ma più tardi se ci riesco provo a farlo...

p.s.

no forse o sbagliato tutto, in pratica ho detto che gli zeri della funzione: $ A(x) $ sono tutti negativi o comlessi

ma non dovrebbe centrare niente sul fatto che la funzione $ A(x) $ sia uguale alla funzione $ 2^y $

quindi troviamo i valori per cui le due funzioni sono identiche...

riprendo la funzione scomposta $ (x+1)(x^2 +1) = 2^y $

intanto metto un po di combinazioni possibili e vedo un pò che succede...

(1+1)(1+1)=2^y → qui la coppia (1,2) va bene

(2+1)(4+1)=2^y → qui la coppia (2,3) va bene

(3+1)(9+1)=2^y → qui non ce ne sono

(4+1)(16+1)=2^y → qui non ce ne sono

ora vedo un pò...più tardi se la trovo, scrivo la soluzione

p.s.

ho cannato tutto, mi ero dimenticata del termine 0x^2 quindi non è quella la scomposizione XD...

non ho provato a risolvere il problema, ma $(x+1)(x^2+1)=x^3+x^2+x+1$ che non è uguale al testo.

paga92aren ha scritto:non ho provato a risolvere il problema, ma $(x+1)(x^2+1)=x^3+x^2+x+1$ che non è uguale al testo.

hai ragione, però scomponendo con ruffini mi viene così...non riesco a capire dove sbaglio

p.s.

ok che stupida non calcolavo il coefficiente del termine x^2 che non c'è ma con ruffini per scomporlo devo metterlo lostesso XD

ok, scusate per prima, per rifarmi vi dico che l'ho risolto logicamente, ma matematicamente non so come spiegarlo, per cui ora "cerco" di spiegarvi cosa ho fatto:


allora:

x^3 = dispari per ogni x dispari...

2x +1 = genera solo numeri dispari...

sappiamo che 2^y è per forza pari in quanto 2^y genera solo potenze di 2...
qiuindi x deve essere necessariamente dispari, perchè solo la somma di 2 dispari o di 2 pari da un numero pari...

ora guardiamo nelle potenze di 2 quanti numeri dispari sono contenuti... (sappiamo che in 2^n abbiamo 2^n-1) numeri dispari... quindi abbiamo sempre un numero pari di dispari...

ora sappiamo che i pari generati dalla funzione (x^3 +2x +1) sono formati da 2 numeri dispari, è l'unica potenza di 2 che abbia 2 numeri dispari è proprio 2^2

se prendiamo ad esempio 2^3 sappiamo che è un numero al cui interno ci sono 2^3-1 dispari quindi 4 dispari in tutto, se si sommano a coppie, come coppia finale si ha sempre 2 numeri pari per tutte le potenze di 2 tranne (2^2) e questo non va bene in quanto i numeri pari generati dalla funzione x^3 +2x +1 sono formati da coppie di dispari e l'unica possibile soluzione quindi è proprio X=1 e Y=2

spero che sia giusto il ragionamento...