x^3+2x+1=2^y

[taifu]

Determinare tutti gli $ ~ x,y $ interi positivi tali che $ x^3+2x+1=2^y $

[trugruo]

sembra tosta,non riesco a dimostrare che (1,2) è l'unica

[SalvoLoki]

Una cosa è certa, tramite mod 2 e mod 3 si vede che x è dispari e y è pari... Aiutini? =)

(EDITATO)

[ndp15]

Infatti c'è anche (0,0)

0 non è positivo.

[SalvoLoki]

Pensavo si potesse comprendere nelle soluzioni, edito

[<enigma>]

Una cosa è certa, tramite mod 2 e mod 3 si vede che x è dispari e y è pari... Aiutini? =)

(EDITATO)

Puoi anche dire di più: analizzando modulo 4 trovi che $ x \equiv 1 \pmod 4 $. Puoi anche spingerti oltre e dire "bene, i casi piccoli si fanno a mano, poniamo $ y \geq k $ e svolgiamo tutti i calcoli mod $ 2^k $". Sorprendentemente, ssembra che per ogni $ k $ si possa trovare un solo resto compreso tra 0 e $ 2^k-1 $ che vada bene! Forse c'entra con la soluzione...

[SkZ]

trovato che $ ~x= k+ 2^yn\; 0<k<2^y\;n\geq 0 $, si ottiene una nuova equazione $ ~P_y(n)=1 $
se si dimostra che $ ~P_y(n) $ e' definitivamente strettamente maggiore di 1, si ha finito

[dario2994]

trovato che $ ~x= k+ 2^yn\; k>0\;n\geq 0 $, si ottiene una nuova equazione $ ~P_y(n)=1 $
se si dimostra che $ ~P_y(n) $ e' definitivamente strettamente maggiore di 1, si ha finito

Puoi chiarire che hai fatto?

[SkZ]

l'idea penso sia quella
assonnato non ho specificato. non ho risolto. Ma con un paio di tentativi vedi che P in 0 e' sempre piu' grande

[dario2994]

Non mi sono spiegato.
Non ho capito che hai fatto... k che è? Hai mostrato che esiste un k (spero intero) tale che vale quella roba o cosa?
EDIT: poi n che è? e k che è?

[<enigma>]

E' facile dimostrare che $ P_y (n)>1 $ definitivamente poiché ha sempre tutti coefficienti positivi. Il passaggio da $ P_y (x) $ a $ P_y (n) $ non mi sembra però così immediato...

[SkZ]

allora:
fissiamo y>0
la x sara' $ ~x\equiv k \mod 2^y $, ovvero $ $x=k+2^yn\; n\geq0 \; 0<k<2^y $ (ovviamente x non puo' essere pari)
Fin qui nulla di strano.
Sostituendo otteniamo $ ~2^y\cdotP_y(n)=2^y $, ovviamente. $ ~P_y(n) $ e' appunto il polinomio a sx che si ottiene considerando le soluzioni che risolvono per un certo y

ovviamente $ ~P_y(0)=\frac{k^3+2k+1}{2^y} $

per n>0 il polinomio e' sempre >1 per forza si, ma in 0 non e' banale. Avviene se appunto $ ~P_y(0)>1 $ definitivamente.

in pratica dimostrare che per $ ~y\geq\hat{y}>2 $ si ha che quella frazione non e' 1

[dario2994]

ok... problema di base... $ $x<2^y $ quindi n vale 0 e di conseguenza si ritorna subito al problema di partenza abbiamo solo sostituito x con k...
Il resto di quello che hai scritto non l'ho proprio capito

[SkZ]

mi viene il dubbio che ci sia qualcosa da capire

faccio una passeggiat, prendo aria e poi rivedo

[exodd]

Vedete che è uno dei quesiti di ammissione al senior..