Piani proiettivi finiti

[dario2994]

Credo che per il 2) qualcosa del genere dovrebbe funzionare. L'immagine è in allegato.

La terza ipotesi è soddisfatta dai punti $ P_1, P_2 , P_3, P_4 $.
Poi salvo abbagli mi sembra che ogni coppia di $ P_i , P_j $ sia contenuta in uno ed un solo insieme $ R_i $ e tutte le intersezioni tra gli $ R_i $ abbiano esattamente un elemento al loro interno. Spero che così vada bene.

Quale retta passa per $P_1$ e $P_5$ ?

[amatrix92]

UFF!! Non ho considerato che QUALSIASI coppia di punti presi a casodeve essere contenuta in un intersezione tra due rette. Sorry. Non mi arrendo.

[Anér]

Do un suggerimento: dimostrare intanto che esistono anche 4 rette tali che tre qualsiasi tra esse non hanno un'incidenza comune, sapendo che esistono 4 punti con la stessa proprietà. In questo modo punti e rette diventano equivalenti (ossia si possono scambiare le parole ottenendo un piano proiettivo duale, e tutto ciò che in seguito si dimostra per i punti vale anche per le rette).

[abc]

Non posto mai niente, ma il punto 3 era piuttosto carino e ha allietato il mio viaggio in treno di una settimana fa

Testo nascosto:

Indichiamo ogni punto come $ (a,b) $ con $ 0\le a\le p-1 $ e $ 0\le b\le p $ ed in più aggiungiamo il punto $ (p,p) $. Indichiamo le rette allo stesso modo, ma con le parentesi quadre $ [a,b] $.
Allora una regola di appartenenza che dovrebbe funzionare è questa:
- se $ b\not= p $ allora $ (a,b) $ appartiene a ogni retta del tipo $ [ai+b;i] $ con $ 0\le i\le p-1 $ (la prima coordinata intesa modulo p) e in più alla retta $ [a;p] $
- se $ b=p, a\not= p $ allora $ (a,b) $ appartiene a ogni retta tipo $ [a,i] $ con $ 0\le i \le p-1 $ e in più alla retta $ [p,p] $
- $ (p,p) $ appartiene a ogni retta tipo $ [i,p] $ con $ 0\le i\le p $
Verificare che tutto funziona è un po' noioso, visto che bisogna fare mille casi , ma in fondo basta verificare che per due punti passa una e una sola retta (il motivo per cui funziona è che $ \mathbb{Z}_p $ è un campo e quindi le equazioni di primo grado hanno una sola soluzione), poi a partire da questo si vede con un "dabòl caunting"che 2 rette hanno sempre una e una sola intersezione. Per la terza condizione basta vedere che $ (0,0),(0,1),(1,1),(1,0) $ vanno bene perché le rette per le prime tre sono $ [0,0],[1,p],[0,p-1] $ che sono distinte, visto che $ p\ge 2 $, e nessuna di queste passa per $ (1,0) $.

Prima o poi devo pensare al caso $ p^k $, ma purtroppo non è un campo.. forse una strana cosa fatta da piani del caso3 più scarti.. Mah, dubito

[paga92aren]

Provo a "creare" un esempio per $n=2$ se non vi dispiace uso il linguaggio geometrico:

1) prendo 4 punti non allineati (devo definire cosa intendo per allineati?) 3 a 3 in modo tale che formino un quadrilatero ABCD non degenere.
2) traccio le diagonali AC e BD (totale 6 rette) che si incontrano nel punto G, i lati opposti AB-DC si incontrano nel punto F e i lati AD-BC nel punto E (finora ho definito 7 punti)
3) impongo che i punti EFG siano allineati, quindi esiste una settima retta che passa per tutti e tre (ovviamente nella figura nel piano euclideo non saranno mai allineati, ma posso imporlo).

Le rette sono 7, i punti pure e ho definito l'incidenza per ogni punto e per ogni retta. Infine la terza condizione di incidenza è soddisfatta dal primo punto (l'esistenza di un "quadrilatero")

[amatrix92]

3) impongo che i punti EFG siano allineati, quindi esiste una settima retta che passa per tutti e tre (ovviamente nella figura nel piano euclideo non saranno mai allineati, ma posso imporlo).

Mi spiegheresti questo passaggio?

Edit: Mi spiego meglio, il passaggio è abbastanza chiaro, alla fine ho anche provato a fare un diagramma di Venn per schirirmi le idee e torna.Quello che non mi torna è che EGF non è più una retta, certo in un ottica combinatoria appartiene all'insieme $ R $ e questo non lo metto in dubbio, ma tornando a quello che ha scritto FrancescoVeneziano:

visto che P ed R *in tutti i casi noti* possono davvero essere interpretati come punti e rette—non del piano euclideo, ma di opportuni oggetti "geometrici"

Allora cosa si intende per rette?

[paga92aren]

Siccome EFG appartiene all'insieme R allora è una retta.
Io non ho dato un'interpretazione grafica a quella retta, ma ho imposto che i tre punti sono "allineati"
Per quanto riguarda l'interpretazione con i punti e le rette "classiche" non spetta a me l'interpretazione, ma a chi sostiene che è sempre possibile.
FORSE basta pensare il quadrilatero ABCD come un trapezio (o addirittura un parallelogramma) in modo tale che il punto E vada a finire molto lontano e sia quindi allineato con F e G (non so come funzionano queste cose in geometria proiettiva).

[FrancescoVeneziano]

Dunque, io volevo più che altro dare contesto e folklore, perché una spiegazione dettagliata richiederebbe un sacco di tempo e sarebbe necessariamente poco elementare.
Dei quesiti iniziali di dario2994 vi invito a risolvere il primo, che è un simpatico esercizio perfettamente alla vostra portate.
Per il secondo le costruzioni di Veluca e paga92aren vanno bene e sono in effetti la stessa per un'opportuna permutazione delle lettere, e per il primo dei due punti 3 la costruzione di abc dovrebbe funzionare (non ho fatto le verifiche ma le idee ci sono). Per il secondo dei due punti 3 in realtà andrebbe bene la costruzione di abc sapendo qualcosa di non elementare sui campi finiti, e il punto 4 è una problema aperto.

Spiegare quello che intendevo a proposito degli esempi geometrici partendo dalla geometria euclidea è un po' difficile perché servono contemporaneamente due salti logici diversi: il passaggio dalla geometria euclidea alla geometria proiettiva, ed il passaggio dalla concezione sintetica della geometria euclidea alla visione più algebrica cominciato con la geometria analitica e le coordinate cartesiane, e mai terminato.

Sul passaggio dalla geometria euclidea a quella proiettiva non so cosa dirvi perché ci si possono scrivere libri, ma mi pare che qualcosa venga fatta anche agli stage senior; si tratta di formalizzare e sistemare concetti fumosi come la "retta all'infinito", e affermazioni mistiche come "le rette parallele si incontrano all'infinito". Così come c'è una geometria sintetica euclidea, c'è anche una geometria proiettiva sintetica, con i suoi assiomi che ricordano quelli di Euclide, ed i suoi teoremi come Desargues o Pappo-Pascal.

Nel passaggio dalla geometria sintetica alla geometria analitica si identificano i punti del piano con coppie di numeri reali, e le rette sono gli insiemi di punti che soddisfano una relazione lineare. Questo cambiamento di prospettiva è in realtà molto profondo per quanto riguarda la struttura della teoria, pensate per esempio che alcuni enunciati che Euclide prendeva come assiomi, ad esempio che per due punti passa una ed una sola retta, possono essere dimostrati usando la geometri analitica; in effetti nel passaggio abbiamo spinto più indietro le nostre assunzioni fondando la teoria sulle proprietà algebriche dei numeri reali invece che sulle proprietà geometriche elementari di punti rette e circonferenze come faceva Euclide.

Perché questo è importante? Perché quello che facciamo con i numeri reali possiamo benissimo farlo con altre "cose" che ne condividono alcune proprietà algebriche, per esempio le classi di resto modulo un primo.
Possiamo fissare un primo p e definire un piano finito i cui punti sono le coppie di classi di resto (come i punti del piano cartesiano sono le coppie di numeri reali), e definire le rette su questo piano come gli insiemi di punti le cui coordinate sono legate da un'equazione lineare. È chiaro che nel passaggio si perde della "geometria" a livello di intuizione e possibilità di visualizzazione, ma diverse proprietà (come appunto che per due punti passa una ed una sola retta) si mantengono perché la loro dimostrazione poggia su proprietà algebriche che rimangono vere sostituendo i reali con le classi di resto.

In conclusione quale via tortuosa porta dagli Elementi di Euclide ai piani proiettivi finiti? La geometria sintetica euclidea si generalizza alla geometria proiettiva sintetica, quest'ultima ha una versione algebrica che usa le coordinate proiettive (terne omogenee di reali) come la geometria analitica usa le coordinate cartesiane (coppie di reali), e fonda la teoria sulle proprietà algebriche dei numeri reali.
Se in questa descrizione della geometria proiettiva sostituiamo i numeri reali con le classi di resto modulo p otteniamo qualcosa che salva parecchie delle proprietà geometriche della geometria proiettiva, e i punti e le rette di questa costruzione forniscono esempi per la struttura combinatoria di piano proiettivo finito definita da dario2994. Naturalmente al posto delle classi di resto posso mettere qualunque "cosa" algebrica che ne condivida alcune proprietà essenziali, ed è i questo modo che si costruiscono gli esempi quando n è una potenza di un primo.

Non credo di aver risolto tutti i dubbi, ma spero di aver dato almeno qualche idea.

[paga92aren]

Dimostrare che esistono 4 rette tali che tre qualsiasi tra esse non hanno un'incidenza comune, sapendo che esistono 4 punti con la stessa proprietà. In questo modo punti e rette diventano equivalenti (ossia si possono scambiare le parole ottenendo un piano proiettivo duale, e tutto ciò che in seguito si dimostra per i punti vale anche per le rette).

Ok provo a risolvere questo punto:
Esistono quattro punti a quadrilatero ABCD (che soddisfano la terza condizione di incidenza) quindi voglio dimostrare che le quattro rette passante per quei punti soddisfano la tesi (AB, BC, CD e AD), ragiono per assurdo:
Tre di queste quattro rette incidono nel punto P (wlog le rette sono AB, BC e CD).
Ho due casi P coincide con un punto A (wlog) per cui passano due di quelle rette o P è distinto dagli altri tre punti.
1) Per i punti A e B sono incidenti le rette AB e BC quindi le due rette coincidono e i punti A, B e C sono allineati; contraddizione.
2) Per B e P sono incidenti le rette AB e BC quindi coincidono, in particolare i punti A, B e C sono allineati. Contraddizione.
Da cui la tesi.

[Nonno Bassotto]

Giusto per precisione. È vero che in tutti gli esempi finiti noti l'ordine di un piano proiettivo è potenza di un primo, ma non è vero che si ottengano tutti come piano proiettivo su un campo finito. Ci sono altri esempi - che si differenziano dai piani proiettivi sui campi finiti perché non valgono i teoremi di Desargues e di Pappo - e il tentativo di mettere delle coordinate su questi oggetti ha portato ad introdurre nuove strutture algebriche, come gli anelli planari ternari.