Piani proiettivi finiti

[dario2994]

Non so davvero dove piazzarlo, lo piazzo qui, ma con buona probabilità è sbagliato. (non lo metto in mne perchè non c'è proprio nulla di ne) (forse era più azzeccata combinatoria o Tdn... )
Spostato in Combinatoria, che mi sembra più appropriato. ---FrancescoVeneziano

Nessuno si faccia spaventare dalla definizione, non è affatto tosto (almeno il punto 1,2... gli altri per me sono ancora un mistero )

Un piano proiettivo consiste di una coppia di 2 insiemi finiti, uno ($P$) di punti e uno di rette ($R$) e di una relazione tra rette e punti detta incidenza, che ha queste proprietà:

• Dati 2 punti esiste esattamente una retta incidente con entrambi
• Date 2 rette esiste esattamente un punto incidente con entrambe
• Esistono 4 punti, tali che comunque ne prendo 3 non esiste una retta incidente con tutti e 3

1) Dimostrare che esiste $n$ intero tale che $|P|=|R|=n^2+n+1$
2) Trovare un esempio per n=2
3) Dimostrare che esiste sempre un esempio se $n$ è primo
3) Dimostrare che esiste sempre un esempio se $n$ è potenza di un primo
4) Dimostrare o confutare che esiste (o forse esista ) un esempio se $n$ non è potenza di primo (questa è una congettura aperta )

[FrancescoVeneziano]

Già che ci siamo vi informo che per quanto riguarda il punto 4, uno dei pochissimi risultati noti è il teorema di Bruck-Ryser, che afferma:
Se il numero $ n $ introdotto al punto 1 è congruo a 1 o a 2 modulo 4, allora $ n $ è esprimibile come somma di due quadrati.

Il teorema non è neanche molto difficile, ma usa qualche fatto più avanzato di teoria dei numeri, oppure c'è una dimostrazione più elementare ma estremamente truccosa.

[amatrix92]

Questa affermazione:

Esistono 4 punti, tali che comunque ne prendo 3 non esiste una retta incidente con tutti e 3

implica che la cardinalita' di $ P $ sia $ \geq4 $ ?

Se la risposta è no allora per il punto 1) mi basta pendere i 3 vertici di un triangolo ABC: $ |R|=3=\{ AB, BC, AC\} \ , \ |P|=3=\{A,B,C\} $ e inoltre $ 1^2+1+1=3 $, quindi l'intero n esiste ed è (anche) $ n=1 $

[dario2994]

E invece la risposta è sì...

[amatrix92]

Ok, riprovo a renderlo banale.

Questa affermazione:

Date 2 rette esiste esattamente un punto incidente con entrambe

se ho capito bene implica che anche 2 rette parallele hanno uno e un solo punto di incidenza.

Da qui si dimostra facilmente che $ n $ rette parallele hanno un solo punto di incidenza. (Giusto )

Ora per il punto 2) mi basta considerare 6 rette parallele e una retta trasversale alle 6 parallele. Avrò 7 punti e 7 rette e inoltre $ 7=2^2+2+1 $

[FrancescoVeneziano]

E quali sono i quattro punti a tre a tre non allineati?

[amatrix92]

E quali sono i quattro punti a tre a tre non allineati?

Giusto scusate. Evidentemente non è banale come credevo.

[fph]

se ho capito bene implica che anche 2 rette parallele hanno uno e un solo punto di incidenza.

Cosa sono due rette parallele? Nessuno le ha mai definite.
In un problema come questo la terminologia "geometrica" è comoda perché permette di usare un po' di intuizione, ma il problema è su una struttura algebrica che poco ha a che fare con la geometria "vera" (nel senso di Euclidea). Il problema funzionerebbe perfettamente se invece di chiamarli "punti" e "rette" si chiamassero "tavoli" e "sedie".

[paga92aren]

Non ho capito una cosa: dati due punti appartenenti a P la retta incidente con i due punti deve appartenere a R? e viceversa?
In altre parole gli insiemi R e P devono essere chiusi rispetto alla relazione di incidenza?

[dario2994]

Non ho capito una cosa: dati due punti appartenenti a P la retta incidente con i due punti deve appartenere a R? e viceversa?
In altre parole gli insiemi R e P devono essere chiusi rispetto alla relazione di incidenza?

Beh certo... l'insieme R è l'insieme delle rette... quindi le rette stanno là dentro...

[FrancescoVeneziano]

In altre parole gli insiemi R e P devono essere chiusi rispetto alla relazione di incidenza?

Questo "in altre parole" non è chiaro. L'incidenza è una relazione tra rette e punti, non un'operazione. Ti dice se il "punto" "sta" sulla "retta", usando la terminologia geometrica.

[Veluca]

Per ora mi limito al 2: un esempio che funziona è con 7 punti A,B,C,D,E,F,G e le "rette" per i punti ABC, CDE, AFE, AGD, CGF, EGB, BDF
Una rappresentazione con il significato solito attribuito a "rette" mi sembra sia impossibile, e sto ancora cercando una rappresentazione più o meno decente sul piano. Il mio massimo è stato un triangolo con vertici A,C,E, incentro G e punti di tangenza con l'incentro D, E, F. Le "rette" sono i lati, le ceviane e la circonferenza. Questa rappresentazione ha però il problema che nel disegno appaiono più intersezioni di quelle che in realtà ci sono...

[amatrix92]

NO scusa non ho capito, facendo il tuo disegno in più modi mi viene che è impossibile che tutte le rette da te segnate siano "rette", più precisamente mi viene che è impossibile che i punti BDF siano allineati se lo sono tutti gli altri.

[FrancescoVeneziano]

Questo problema ha fatto un sacco di confusione. Non è un problema di geometria, è un problema di combinatoria.
Quando dario2994 parlava di insiemi P ed R di punti e di rette intendeva che gli elementi di P li chiamiamo punti e gli elementi di R rette, non che debbano essere necessariamente punti e rette del piano euclideo e che la relazione astratta di incidenza debba essere l'incidenza sul piano euclideo.
Una riformulazione che nasconde l'origine ed il significato del problema, ma che forse confonde meno le idee è:

Un piano proiettivo è un insieme finito $ P=\{p_1,\dotsc, p_h\} $ ed un numero finito $ R_1,\dotsc, R_k\subseteq P $ di sottoinsiemi di P, con le proprietà che:
Per ogni coppia di elementi distinti $ p_i,p_j $, esiste esattamente un $ R_l $ che li contiene entrambi.
Per ogni coppia di $ R_l,R_m $ distinti, la loro intersezione ha esattamente un elemento.
Esistono quattro elementi distinti $ p_a,p_b, p_c,p_d $ tali che, comunque ne prenda tre di questi quattro, non c'è un $ R_l $ che li contenga tutti e tre.

Nessuna menzione di punti o rette: questa è una definizione completamente combinatoria, nella quale la geometria non c'entra nulla.
La terminologia geometrica tradisce l'origine di questa definizione, e mette in luce la sua strettissima parentela con argomenti di geometria, visto che P ed R *in tutti i casi noti* possono davvero essere interpretati come punti e rette—non del piano euclideo, ma di opportuni oggetti "geometrici"; tuttavia la definizione combinatoria ha senso anche senza la struttura geometrica aggiuntiva, e anzi la congettura al punto 4 chiede proprio questo: esiste un esempio di struttura combinatoria che soddisfi questa definizione e che non provenga dalla "geometria"? (per un opportuno significato di geometria).

[amatrix92]

Credo che per il 2) qualcosa del genere dovrebbe funzionare. L'immagine è in allegato.

La terza ipotesi è soddisfatta dai punti $ P_1, P_2 , P_3, P_4 $.
Poi salvo abbagli mi sembra che ogni coppia di $ P_i , P_j $ sia contenuta in uno ed un solo insieme $ R_i $ e tutte le intersezioni tra gli $ R_i $ abbiano esattamente un elemento al loro interno. Spero che così vada bene.