OliForum Matematico

Hawk ha scritto:$ a_n=b_n=0 $ da cui deduco p=0

Puoi spiegarti meglio? come deduci p=0?

Hawk ha scritto:La soluzione quindi è corretta?

No...
La deduzione infatti è sbagliata, tu devi trovare (sempre che basti) la a iniziale quella della prima sostituzione, dopo quelle sostituzioni il fatto che $a_n=0$ non significa affatto $a_1=0$

Volevo dire $ p=1 $. Spiego: prendiamo le seguenti equazioni che derivano dalle sostituzioni:
$ 2^{n-1}=a_1+b_1+1 $
$ 2^{n-2}=a_2+b_2+1 $
$ 2^{n-3}=a_3+b_3+1 $
Giocandoci un po' si vede subito $ a_1=2a_2 $ e $ b_1=2b_2+1 $, $ a_2=2a_3 $ e $ b_2=2b_3+1 $, la successione continua così, ma se $ a_n=0 $ allora $ a_i=0 $ e siccome $ p=2a_1+1 $ abbiamo $ p=1 $.

Facendo così assumi che dividendo per 2 il numero pari resta sempre lo stesso, mentre potrebbero benissimo invertirsi.

Concettualmente questa dimostrazione è molto più sbagliata di quella di prima.
Hawk... tu di $3^p$ e di $p$ non stai usando nulla nella tua dimostrazione fuorché che sono dispari... quindi in realtà, se funzionasse quello che hai scritto, avresti dimostrato che una potenza di 2 non si scrive come somma di 2 numeri dispari... che è un poco falso

Lo so! Ma non sapevo proprio come continuare, per questo ho cercato di trovare un altra soluzione.

Se mi date un po' di tempo provo a sviluppare un'altra soluzione.

Una volta arrivato a dimostrare che deve essere $p=2048x+685$ per qualche intero $x>0$, possiamo sapere se esiste una soluzione "olimpica" a questo problema?

Purtroppo non ne ho la minima idea (l'avevo postato dopo aver cercato una soluzione al link della dispensa), anche se a questo punto dubito fortemente esista...
Comunque il testo l'ho preso da qui, è il numero 6 (nella dispensa che avevo scaricato io qualche settimana fa c'è l'ipotesi p primo, ora è stato aggiornato ed è p, n interi positivi qualsiasi).

Il problema preso da quella dispensa ha come "soluzione" questo, preso dalla sezione "open problems"; peccato che la risposta di maxal (linka qui) non c'entra una ceppa col problema in questione -.- .

Comunque già a prima vista mi pareva un po' difficile dire qualcosa in generale sulla fattorizzazione di $3^p+p$..

Dimostriamo almeno che $ 4 $ non divide $ n+1 $

Accidenti, proprio oggi ho chiesto al mio prof di matematica di buttare giù una soluzione, e non lo rivedo prima di venerdì! Immagino che mi sgriderà per avergli fatto provare un problema così difficile di cui non capirei comunque la soluzione.

Scusate l'OT, è uno giovane per questo accetta ancora di risolvere problemi, ma credo che ora mi ammazzerà per avergli rovinato la festa dell'Immacolata.