Un classico: $ab=a+b$

[Drago96]

Dai, non è ancora saltato fuori un metodo piuttosto usato!

[afullo]

mi devo sacrificare io?

ab = a + b
ab - a - b = 0
ab - a - b + 1 = 1
(a-1)*(b-1) = 1

dunque o sono entrambi 1, da cui (2,2), o sono entrambi -1, da cui (0,0).

[Drago96]

-.-
Almeno potevi usare il $\LaTeX$...



E comunque ne manca ancora uno! (e guai a te se spoileri anche questo! xD)

[xXStephXx]

Provo questo:
Con $a$ e $b$ maggiori di $2$ e senza perdere di generalità $b\geq a$ si ha:
$a+b \leq 2b < 2b+ (a-2)b =ab$
Così i casi rimangono pochi.

[afullo]

-.-
Almeno potevi usare il $\LaTeX$...



E comunque ne manca ancora uno! (e guai a te se spoileri anche questo! xD)

Ah credevo che ormai visti i post la tua richiesta iniziale non fosse più vincolante. E io non volevo essere da meno...

Comunque credo di aver capito l'altro metodo, ne ho esposto uno recentemente differente da quelli finora qui proposti, se è quello ci sono.

[xXStephXx]

Per caso si basa su $\displaystyle 1= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ ???

[afullo]

Per caso si basa su $\displaystyle 1= \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ ???

No, ti posso dire che si basa su qualcosa che è anche il titolo di un album del cantante Raf...

[xXStephXx]

Boh ho cercato un po' su wikipedia... L'unica cosa che ha a che fare con la matematica parrebbe "iperbole".. ci sta?? Ma teoricamente l'hai già messa l'iperbole equilatera...

Poi, al di là di ciò, avevo pensato anche al fatto che $ab$ non può essere dispari, quindi proseguendo su questa strada si semplifica qualcosina..

No boh, non mi viene in mente nient'altro xD

[afullo]

Ci sta, altroché se ci sta.

[xXStephXx]

E che c'è da dire sull'iperbole oltre al fatto che viene una cosa del tipo $xy=1$? Non equivale ad $(a-1)(b-1)=1$?

[afullo]

E che c'è da dire sull'iperbole oltre al fatto che viene una cosa del tipo $xy=1$? Non equivale ad $(a-1)(b-1)=1$?

Ragiona su intervalli di monotonia e asintoti...

[Drago96]

Mmm... no, direi che non è il metodo che pensavo io, se passi per l'analisi (che tra l'altro neanche steph ha fatto, mi pare)

Quello che avevo in mente io è quello delle disuguaglianze, scritto da steph... (che anche lui, non mi pare più così "novizio" )
Anche se bastava un passaggio in meno, dato che hai supposto $a,b\geq3$ e $3>2$

[xXStephXx]

Ecco xDD Avevo indovinato!

Comunque: cosa sono gli intervalli di monotonia? xDD

[jordan]

a=0 implica b=0, e simmetricamente anche b.
a=1 non porta a nessuna soluzione, e simmetricamente anche b.
Altrimenti wlog $2\le a \le b \implies 2b \le ab = a+b \le 2\text{max}\{a,b\}=2b$ e otteniamiano l'ultima a=b=2

[Karl Zsigmondy]

$ a+b+c=abc $
Modo 1:
$ a+b+c=abc \rightarrow 1= \frac{a+b+c}{abc} = \frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc} $
Sia per assurdo $ \min \{ a,b,c \} >1 $. Allora $ \frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc} \leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} < 1 $. Quindi $ \min \{ a,b,c \} =1 $ e WLOG a=1. Ottengo $ bc=b+c+1 \rightarrow b = \frac{c+1}{c-1} $ perché non ci sono soluzioni se b=1 e/o c=1 quindi posso dividere per (c-1). Da cui segue che l'unica soluzione è (a,b,c)=(1,2,3) (e permutazioni) perché negli altri casi (b maggiore di 2) si ha che $ \frac{c+1}{2} < c-1 < c+1 $, quindi non può dividerlo.

Modo 2
Pongo WLOG $ a \geq b \geq c \ ; \ a=1+x ; b=1+y ; c=1+z $ con x,y,z interi non negativi (a,b,c non possono valere 0). Sostituisco e svolgo i conti ottenendo:
$ 2=xy+xz+yz+xyz $. Se per assurdo x,y,z fossero tutti positivi avrei $ xy+xz+yz+xyz \geq 4 $ che è assurdo, quindi x=0 da cui segue $ yz=2 $ e quindi y=1, z=2. Da cui segue che l'unica soluzione è (a,b,c)=(1,2,3) (e permutazioni).