Un classico: $ab=a+b$

[Drago96]

Visto che l'estate porta gente nuova, propongo un quesito che chiunque abbia una passione per la Matematica penso si sia fatto: ci sono due numeri il cui prodotto è uguale alla loro somma?
Ovvero per quali $a,b\in\mathbb N$ vale $a\cdot b=a+b$ ?

Il bello di questo problema è che si presta ad essere risolto con molte tecniche "standard" diverse (a me vengono in mente almeno 6 modi, di cui 3-4 completamente diversi) e per questo può eserre parecchio istrutivo per chi si avicina alle Olimpiadi!
(Prego dunque i più esperti di non postare tra 2 minuti tutti i modi per risolverlo...)

[Alepedra96]

Un possibile modo alternativo potrebbe essere questo:
$ b(a-1)=a $ quindi $ (a-1)|a $ e questo è possibile solo se $ a=2 $ da cui si ricava che anche b vale 2

P.S. nei numeri naturali lo zero è incluso?

[Drago96]

Un possibile modo alternativo potrebbe essere questo:
$ b(a-1)=a $ quindi $ (a-1)|a $ e questo è possibile solo se $ a=2 $ da cui si ricava che anche b vale 2

E questo è uno...

P.S. nei numeri naturali lo zero è incluso?

Sì, a meno che venga detto diversamente... (per esempio: "dove $\mathbb N :=\{1,2,3,\dots\}$")

[Alepedra96]

Ok grazie, quindi nella soluzione di prima va aggiunta la possibilità che siano entrambi zero.

[Alepedra96]

Mi è venuta in mente un'altra soluzione, risolvendo l'equazione $ t^2-kt+k=0 $, dove k è la somma dei numeri si trova che $ \Delta=k(k-4) $ che deve
essere un quadrato perfetto quindi o $ k=k-4 $ ma è impossibile oppure o $ k $ o $ k-4 $ sono uguali a zero quindi:
1) $ k=0 $ diventa $ t_1=t_2=0 $ quindi $ a=b=0 $
2) $ k=4 $ diventa $ t_1=t_2=2 $ quindi $ a=b=2 $

[nic.h.97]

$ {b \over b-1}=a $
essendo b un numero naturale dispari il rapporto tra esso e il suo precedente sara' un numero reale ... lo stesso con tutti i numeri pari eccetto il 2 e lo 0

[xXStephXx]

Oppure c'è $b|a+b \Longleftrightarrow b | a$ e $a|a+b \Longleftrightarrow a|b$
Da cui $a|b$ e $b|a$ $\Longrightarrow a=b$

[Drago96]

Ok, erano trascorsi i due minuti...
Riformulo: prego i più esperti di non risolvere il problema

[<enigma>]

Rilancio estemporaneo: quante sono le soluzioni a $ab=a+b$ in $\mathbb Z /n\mathbb Z$?

[zeitgeist505]

$\mathbb Z /n\mathbb Z$ cosa sarebbe?

[Drago96]

$\mathbb Z /n\mathbb Z$ cosa sarebbe?

Gli interi modulo n (ovvero da $0$ a $n-1$ )

[LeZ]

Forse si potrebbe fare qualcosa anche con AM-GM

[ale.b]

Piccolo rilancio poco più difficile:
Risolvere l'equazione $abc=a+b+c$ con $a,b,c\in\mathbb{N}$.

[Drago96]

Piccolo rilancio poco più difficile:
Risolvere l'equazione $abc=a+b+c$ con $a,b,c\in\mathbb{N}$.

C'è un metodo che è identico anche per quello a due incognite!

[Alepedra96]

Visto che rilanciano tutti rilancio anche io: se abbiamo che la somma di k numeri è uguale al loro prodotto, per quali valori di k c'è una
sola soluzione(esclusa la banale formata da tutti 0) con $ k<25 $