OliForum Matematico

mmmh... provo a dare una spiegazione abbastanza colloquiale...
$ K $ è l'energia cinetica
La "fatica" che il signor C. accusa altro non è che il lavoro che egli compie per passare da velocità 0 a velocità v, in questo caso 10 m/s. Ma il $ \Delta K $ che rappresenta il lavoro compiuto, non va calcolato come $ \frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2 $, ma come $ \frac{1}{2}m \Delta V^2 $.
Ciò che conta realmente è infatti la variazione di velocità, poichè è solo a causa di questo che il signor C. compie un lavoro, e quindi fa fatica. Il signor F., nel suo calcolo, sbaglia poichè lo svolge rispetto ad un S.R.I. in moto rispetto a lui, e quindi con una sua energia cinetica. E' chiaro che egli troverà un surplus di energia cinetica, poichè considera un "livello 0" di energia diverso dal suo. I 100.000 Joule di energia cinetica che C. possiede alla partenza, sono validi solo rispetto al S.R.I. solidale con la terra, ma il calcolo della "fatica" va svolto in un S.R.I. solidale col treno, e poichè a causa della relatività galileiana tutti i S.R.I. sono equivalenti tra di loro, è chiaro che la variazione di $ K $ del signor C. sarà la stessa in qualunque S.R.I.

Cerco di rispondere a hydro.
Siamo d'accordo che nel sistema treno e nel sistema terra la fatica che fa C. deve essere sempre la stessa (4.000 J), e dipende dalla variazione della sua velocità relativa, e cioè 10 m/s, non dalla sua velocità assoluta.
Ma è anche vero che, considerando il sistema terra, l'energia cinetica di C. quando viaggia a 60 m/s è di 44.000 J superiore a quella che aveva prima di pedalare, quando cioè si muoveva a 50 m/s. Se dovesse sbattere contro un muro alle due velocità e potesse restare vivo per fare i confronti, sono sicuro che confermerebbe che nel secondo caso si fa male una volta e mezza (quasi) più che nel primo caso.
Allora la domanda è: ma come fa a farsi tutto questo male in più (corrispondente a 44.000 J) se pedalando ha consumato solo 4.000 J di energia? il resto (40.000 J) chi glielo ha regalato?
Appena riesco a farlo, pubblico la mia spiegazione. Intanto sono graditi ulteriori contributi alla discussione.

si potrebbe suggerire al signor F che secondo il suo ragionamento, anche quando il signor C pedala a terra il suo aumento di energia cinetica è maggiore di 4000 J

la terra ruota infatti con una velocità di circa 460 m/s
l'energia di C aumenta allora da 8537760 J a 8911360 J

o perchè non considera anche la velocità di rivoluzione, o la velocità rispetto ad una stella qualunque?

l'energia cinetica va calcolata nel sistema di riferimento del corpo, non in uno qualsiasi

per risolvere il problema dei 40000 J in più

Lavoro = forza per spostamento
nel riferimento di C Lavoro = forza per spostamento (in un tempo T)
nel riferimento di F Lavoro = forza per (spostamento + 50m/s * t)
supponendo la forza costante lo spostamento = (10 m/s * t)/2
lavoro per F / lavoro per C = 11 / 1 = 44000 / 4000

mi scuso ma sto ancora imparando a usare latex

p.s d'altornde anche l'energia cinetica di F rispetto a C aumenterebbe, mentre C non compie alcun lavoro

Tutto giusto, ma ancora non c'è risposta alla domanda: chi fornisce questa energia in più quando cambia il sistema di riferimento? Vorrei suggerire una via d'uscita: quando il sistema di riferimento è piccolo (vagone) allora l'oggetto di studio è il solo ciclista e l'unica forza in gioco, quella che fa lavoro, è ovviamente fornita dalle sue gambe. Quando il sistema di riferimento si allarga (terra), allora gli oggetti di studio diventano due, il ciclista e il treno. Non suggerisce niente tutto ciò? non entra forse in gioco anche qualche altra forza a compiere lavoro? non sarà forse proprio questa la responsabile della differenza di energia cinetica? (mi scuso se parlo ancora per indovinelli, ma sto tentando di districarmi con le formule, in fondo ho iniziato il forum solo ieri). Appena sono pronto pubblico la mia soluzione.

Provo una risposta qualitativa

Quando C comincia a pedalare sul treno aumenta la sua quantità di moto rispetto alla Terra: quindi, per il principio di conservazione della q. di moto, il treno dovrebbe rallentare : se ciò non accade allora anche il treno deve spendere energia per mantenersi alla stessa velocità: i 40000 J di differenza derivano da qui.

Spiegato con il 3° principio della dinamica, sul treno agisce una forza uguale e contraria a quella che fa C; se il sistema di riferimento è il treno stesso, allora la forza non viene presa in considerazione, mentre se il sistema di riferimento è la Terra questa forza va presa in considerazione e giustifica i 40000 J di differenza.

came88 ha scritto:Provo una risposta qualitativa

Quando C comincia a pedalare sul treno aumenta la sua quantità di moto rispetto alla Terra: quindi, per il principio di conservazione della q. di moto, il treno dovrebbe rallentare : se ciò non accade allora anche il treno deve spendere energia per mantenersi alla stessa velocità: i 40000 J di differenza derivano da qui.

Spiegato con il 3° principio della dinamica, sul treno agisce una forza uguale e contraria a quella che fa C; se il sistema di riferimento è il treno stesso, allora la forza non viene presa in considerazione, mentre se il sistema di riferimento è la Terra questa forza va presa in considerazione e giustifica i 40000 J di differenza.

BINGO!!!
Bravissimo came88!!!

E' proprio il motore del treno, che deve compensare una tendenza al rallentamento dovuta al principio di reazione, quello che fornisce la forza che, pur essendo uguale a quella che applica il ciclista, agisce però per uno spazio molto più lungo, pari cioè a tutto quello che nel frattempo percorre il treno! Così si spiega l'enorme lavoro compiuto.
Siccome però il treno mantiene costante la velocità, tutto questo lavoro prodotto dal motore non può che andare proprio ad incrementare l'energia cinetica del ciclista, che è l'unica parte in accelerazione dell'intero sistema.
Hai reso felice il signor F. !

A presto per i dettagli analitici.

Era un esercizio veramente carino

Se è tuo complimenti

Sì, è mio perché il mio pallino è la didattica delle cose semplici.
Sono le cose apparentemente scontate le nostre migliori maestre, e spesso scavando in esse ci si accorge che tanto semplici non erano. Ad esempio ci pare scontato che l'energia sia proporzionale al quadrato della velocità, ma quando ci si scontra con gli apparenti paradossi che questa non linearità comporta, allora ci si accorge che forse c'è qualcosa che non si era capita proprio bene, e allora si fanno lavorare i neuroni finché il paradosso non si risolve. E così il nostro livello di comprensione del mondo cresce. Almeno, così è come la vedo io.

già hai ragione
bella la soluzione

però posso aggiungere una cosa (per curiosità non per critica)?

ipotizza di stare ruotando con una frequenza determinata
stai osservando un oggetto
supponi di raddoppiare la tua frequenza di rotazione
l'energia cinetica dell'oggetto rispetto a te quadruplica
da dove arriva l'energia? cos'è che fa lavoro?

A prima vista direi così.
Se io sono un osservatore fermo al centro di una giostra che gira, e ad un certo punto la giostra raddoppia la sua frequenza, allora tutti gli oggetto che si trovano sulla giostra quadruplicano la loro energia cinetica. Questo lo posso dire perché le leggi della fisica che conosciamo valgono per i sistemi di riferimento inerziali, e quando mi trovo fermo al centro di qualcosa che gira io osservatore sono il sistema inerziale, e allora so fare i calcoli.
Quando invece io sono proprio sul perno girevole al centro di una piattaforma ferma, allora non ho titolo di parlare perché in quel momento io non sono un sistema inerziale, bensì un sistema accelerato. Invece le cose che stanno ferme sulla piattaforma, quelle sì avrebbero titolo di parlare, e vedendo che ad un certo punto la mia frequenza raddoppia diranno che la mia energia quadruplica secondo la legge $ 1/2 I \omega^2 $. Qualunque cosa io voglia dire invece su di loro mi porta a sbagliare, dovrei considerare tutte le forze apparenti che agiscono sui sistemi accelerati, e non sono sicuro che riuscirei a districarmi nei calcoli dell'energia.

Provo a buttare giù qualche formula

Il lavoro che compie il ciclista è $ L_c=F_c \cdot s_c=F_c\cdot\frac{v_c}{t} = 4000 J $ quindi la forza che compie il ciclista è $ F_c=L_c\cdot \frac{t}{v_c} $

Il lavoro del treno è $ L_t=F_t \cdot s_t = F_t \cdot \frac {v_t}{t} $

Per mantenersi a velocità costante, il treno deve esercitare una forza doppia di quella del ciclista, quindi $ F_t=2 \cdot L_c \frac{t}{v_c} $

Si ricava $ L_t = 2L_c \cdot \frac{t}{v_c} \cdot \frac{v_t}{t} = 2L_c \cdot \frac{v_t}{v_c} $

Sostituendo si ottengono i 40000 Joule

$ L_t=2L_c \cdot \frac{v_t}{v_c}=2 \cdot 4000 \cdot \frac{50}{10}=40000J $

P.S.: con $ v_c $ intendo la velocità del ciclista rispetto al treno

came88 ha scritto:Provo a buttare giù qualche formula

Il lavoro che compie il ciclista è $ L_c=F_c \cdot s_c=F_c\cdot\frac{v_c}{t} = 4000 J $ quindi la forza che compie il ciclista è $ F_c=L_c\cdot \frac{t}{v_c} $

Il lavoro del treno è $ L_t=F_t \cdot s_t = F_t \cdot \frac {v_t}{t} $

Per mantenersi a velocità costante, il treno deve esercitare una forza doppia di quella del ciclista, quindi $ F_t=2 \cdot L_c \frac{t}{v_c} $

Si ricava $ L_t = 2L_c \cdot \frac{t}{v_c} \cdot \frac{v_t}{t} = 2L_c \cdot \frac{v_t}{v_c} $

Sostituendo si ottengono i 40000 Joule

$ L_t=2L_c \cdot \frac{v_t}{v_c}=2 \cdot 4000 \cdot \frac{50}{10}=40000J $

P.S.: con $ v_c $ intendo la velocità del ciclista rispetto al treno

Mi sembra che nei calcoli tu abbia ancora qualcosa da imparare.
Prima di tutto lo spazio è uguale a velocità per tempo (e non diviso) e comunque questo vale per il moto uniforme, non per quello accelerato del ciclista.
Poi la forza con cui il motore spinge il treno è uguale a quella che fa avanzare il ciclista (perché dici il doppio?).
Domani vedo di inserire i calcoli esatti.

Dettagli di calcolo
Vediamo se sono riuscito in qualche modo a districarmi con questo pessimo linguaggio delle formule.

Quando il treno ha raggiunto la velocità di regime di 50 m/s, il ciclista comincia a pedalare imprimendo a se stesso una accelerazione a(t), e quindi esercitando, per reazione, una forza sul pavimento del vagone pari a F = -ma, dove m è la massa del ciclista (80 Kg).
Prendendo in esame il solo treno, ciclista escluso, esso procede a velocità costante per cui la somma di tutte le forze su di esso è nulla. Ciò significa che la spinta a ritroso generata dall’accelerazione del ciclista deve essere compensata da una spinta in avanti fornita dal motore del treno, anch’essa quindi di modulo F = ma (dove m è la solita massa del ciclista e a la sua accelerazione.
Questa forza F (variabile nel tempo in relazione a quanto il ciclista spinge sui pedali) viene applicata dal motore del treno per tutto il tempo che il ciclista pedala, e quindi detto T questo tempo totale, essa agisce lungo uno spazio complessivo L=50T. Da cui si deduce che il lavoro compiuto dal motore del treno durante la pedalata del ciclista è:

$ W = \int_{0}}^L{F dx}= \int_{0}}^L{madx} =\int_{0}}^T{ma50dt} $
(essendo per il treno dx=50 dt)
(poniamo le origini dei tempi e degli spazi esattamente al momento e sul punto in cui il ciclista comincia a pedalare; rispetto a questa origine, x è lo spazio percorso dal treno misurato sul terreno, il cui valore finale risulta L)

Ricordando che adt = dv’ (dove v’ è la velocità del ciclista relativa al treno, che come si è detto varia da 0 fino ad un valore massimo V’ = 10 m/s ) e facendo una sostituzione della variabile di integrazione si ha:

$ W = \int_{0}}^T{50madt}= \int_{0}}^{V^'}}{50md{v^'}}= 50*80*10 = 40.000 $

Riassumendo: durante la pedalata del ciclista il motore del treno non può rimanere inerte ma deve compiere un lavoro di 40.000 Joule per mantenere costante la velocità. Velocità del treno costante (ciclista escluso) significa energia cinetica costante, per cui questo lavoro prodotto dal motore viene trasferito interamente sul ciclista, che è l’unica parte in accelerazione di tutto il sistema, contribuendo così significativamente all’incremento della sua energia cinetica.
Sappiamo già che il ciclista compie uno sforzo muscolare di 4.000 Joule, che dunque sommati a questi 40.000 sviluppati e trasmessigli dal motore del treno raggiungono così i fatidici 44.000 Joule di incremento dell’energia totale del ciclista, risultato questo che risolve il paradosso e mette tranquillo il signor F.

Si può fare anche un calcolo semplificato (senza integrali) a beneficio degli studenti di liceo, nel caso di accelerazione del ciclista costante e quindi forza costante. In questo caso il lavoro compiuto dal motore del treno è W = m a 50T (forza per lo spazio percorso dal treno finché il ciclista pedala). Ricordando che aT è proprio Vc (i famosi 10 m/s finali del ciclista) si ha W = m Vc 50, cioè W = 80 * 10 * 50 = 40.000

Flavio5x ha scritto: Vediamo se sono riuscito in qualche modo a districarmi con questo pessimo linguaggio delle formule.

Pessimo linguaggio il LaTeX?????

Solo per dire che il mio intervento relativo al macchinsta non era una battuta .

Avendone il permesso, io avrei chiesto al macchinista di controllare il segnale dell'amperometro del motore durante la corsa del cislista. Lui mi avrebbe sicuramente detto che il motore del treno stava assorbendo più potenza e avrei capito da dove fisicamente veniva l'energia cinetica che 'mancava'.

ciao a tutti, specialmente a Flavio, che ha fatto un'ottima partenza.