Ehm solo una cosa.. la derivata di $ -e^{-x} $ non è $ e^{-x} $ o è $ e^{x} $???
Comunque grazie, a parte quella derivata, è tutto + chiaro ora....
Ah.. la derivata seconda è
$ F''(x)= -2e^{-x}*log^2e^{-x}+2e^{-x}\displaystyle\frac{1}{e^{-x}}(-e^{-x}) $
???
Penso di aver spagliato la derivata del log onestamente....
Chiarimenti su integrali
-
MdF
No.. a questa:
$ F''(x)= -2e^{-x}*log^2e^{-x}+2e^{-x}\displaystyle\frac{1}{e^{-x}}(-e^{-x}) $
La parte che credo di aver sbagliato è quel $ log^2e^{-x} $ che ho derivato così $ \displaystyle\frac{1}{e^{-x}}(-e^{-x}) $
Qui c'è la derivata prima... io ho provato a fare la derivata seconda, ma è sicuramente sbagliata. Esattamente la derivata seconda l'ho sviluppata così:Piera ha scritto:Esercizio 3)
$ DF(x)=f(g(x))g'(x) $.
Nel tuo esercizio ottieni
$ F'(x)=e^{-x}\log^2e^{-x}*e^x $ (adesso $ g(x)=-e^{-x} $)
e derivando ulteriormente puoi studiare la concavità/convessità della funzione.
$ F''(x)= -2e^{-x}*log^2e^{-x}+2e^{-x}\displaystyle\frac{1}{e^{-x}}(-e^{-x}) $
La parte che credo di aver sbagliato è quel $ log^2e^{-x} $ che ho derivato così $ \displaystyle\frac{1}{e^{-x}}(-e^{-x}) $
Chiaramente ho sbagliato, la derivata di$ -e^{-x} $ è $ e^{-x} $.
La derivata di $ \log^2f(x) $ è $ 2logf(x)*\frac{1}{f(x)}*f'(x) $.
Comunque prima di derivare conviene osservare che
$ F'(x)=e^{-x}\log^2e^{-x}*e^{-x} $$ =e^{-2x}(loge^{-x})^2=e^{-2x}(-xloge)^2=e^{-2x}x^2*1=x^2e^{-2x} $.
Pertanto
$ F''(x)=2xe^{-2x}-2x^2e^{-2x}=(2x-2x^2)e^{-2x} $.
La derivata di $ \log^2f(x) $ è $ 2logf(x)*\frac{1}{f(x)}*f'(x) $.
Comunque prima di derivare conviene osservare che
$ F'(x)=e^{-x}\log^2e^{-x}*e^{-x} $$ =e^{-2x}(loge^{-x})^2=e^{-2x}(-xloge)^2=e^{-2x}x^2*1=x^2e^{-2x} $.
Pertanto
$ F''(x)=2xe^{-2x}-2x^2e^{-2x}=(2x-2x^2)e^{-2x} $.
-
Simo_the_wolf
- Moderatore
- Messaggi: 1053
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Pescara
-
MdF
Per il poco che credo di sapere (poiché qui si passa nelle funzioni integrali):Sosuke ha scritto: Se avessi ad esempio la funzione
$ F(x)= - \displaystyle\int_0^x5t^2 $
$ F'(x)=10x $ oppure $ F'(x)=-10x $ ????
$ $F'(x) = D \left[-\displaystyle\int_0^x5t^2\right] = \displaystyle\left[-5t^2\right]_0^x$ $
che posso solo supporre quanto valga, e poiché ora non riesco a supporre niente evito di dire fregnacce.
Farei come sopra, con opportune modifiche.Sosuke ha scritto: E se avessi ad esempio la funzione
$ F(x)= - \displaystyle\int_0^{2x}5t^2-\int_0^x5t^2 $
$ F'(x)=20x-10x=10x $ ????
(È possibile che non ci sia un moderatore uno che possa darci una mano seriamente competente?)
Scusate.. ho sbagliato a scrivere il secondo caso.. che va beh... non dovrebbe fare differenza...
E per quanto riguarda il primo caso... allora in questo caso
$ F(x)=\displaystyle\int_{-x^3}^2e^\sqrt[3]tdt $
$ F'(x)=e^{-x}*3x^2 $
è esatto o devo mettere qualche meno davanti a qualcosa?
Senza il meno davanti il primo integrale...Sosuke ha scritto: E se avessi ad esempio la funzione
$ F(x)= \displaystyle\int_0^{2x}5t^2-\int_0^x5t^2 $
$ F'(x)=20x-10x=10x $ ????
E per quanto riguarda il primo caso... allora in questo caso
$ F(x)=\displaystyle\int_{-x^3}^2e^\sqrt[3]tdt $
$ F'(x)=e^{-x}*3x^2 $
è esatto o devo mettere qualche meno davanti a qualcosa?
La derivata che hai scritto è sbagliata.
Quando derivi il primo termine al posto di $ t^2 $ devi sostituire $ 2x $ e poi moltiplicare per la derivata di $ 2x $ piochè è una funzione composta, per quanto riguarda il secondo termine al posto di $ t^2 $ devi sostituire $ x $:
$ F'(x)=5(2x)^2*2-5x^2 $.
L'altra derivata è giusta.
Quando derivi il primo termine al posto di $ t^2 $ devi sostituire $ 2x $ e poi moltiplicare per la derivata di $ 2x $ piochè è una funzione composta, per quanto riguarda il secondo termine al posto di $ t^2 $ devi sostituire $ x $:
$ F'(x)=5(2x)^2*2-5x^2 $.
L'altra derivata è giusta.
Allora studiando la mia funzione
$ F(x)=\displaystyle\int_{-2}^{-e^{-x}}|t|log^2|t|dt $
$ F'(x)=-e^{-2x}*x^2 $
$ F''(x)=e^{-2x}(x^2-2x) $
Per trovare dove la funzione è concava o convessa studio la derivata seconda e vedo dove è maggiore di 0 quindi:
$ F''(x)=e^{-2x}(x^2-2x)>0 $
$ (x^2-2x)>0 $
Quindi $ F''(x)>0 $ con $ x \in ]0,2[ $ e qui la funzione è concava verso l'alto.
E qui ho i dubbi...
DUBBIO 1: E' nell'intervallo concava verso l'alto o in un punto solo???
A questo punto devo trovare i flessi... naturalmente la derivata seconda si annulla in $ 0 $ e $ 2 $...
vedo se in questi punti si annulla la derivata prima.... si annulla solo in $ x=0 $
DUBBIO 2: Deduco che in $ x=2 $ c'è un flesso obliquo
Studio la derivata terza in x=0 ($ F'''(x)=-2e^{-2x}(x^2-2x)+e^{-2x}(2x-2) $... dovrebbe essere questa... non ho semplificato perchè tanto non mi importa, la devo studiare nel punto 0). La derivata terza dovrebbe essere negativa nel punto 0 e quindi
DUBBIO 3: in x=0 ci dovrebbe essere un flesso orizzontale disc.
NON ci dovrebbero essere altri flessi.. ne altre concavità...
esatto?? dove sbaglio?
$ F(x)=\displaystyle\int_{-2}^{-e^{-x}}|t|log^2|t|dt $
$ F'(x)=-e^{-2x}*x^2 $
$ F''(x)=e^{-2x}(x^2-2x) $
Per trovare dove la funzione è concava o convessa studio la derivata seconda e vedo dove è maggiore di 0 quindi:
$ F''(x)=e^{-2x}(x^2-2x)>0 $
$ (x^2-2x)>0 $
Quindi $ F''(x)>0 $ con $ x \in ]0,2[ $ e qui la funzione è concava verso l'alto.
E qui ho i dubbi...
DUBBIO 1: E' nell'intervallo concava verso l'alto o in un punto solo???
A questo punto devo trovare i flessi... naturalmente la derivata seconda si annulla in $ 0 $ e $ 2 $...
vedo se in questi punti si annulla la derivata prima.... si annulla solo in $ x=0 $
DUBBIO 2: Deduco che in $ x=2 $ c'è un flesso obliquo
Studio la derivata terza in x=0 ($ F'''(x)=-2e^{-2x}(x^2-2x)+e^{-2x}(2x-2) $... dovrebbe essere questa... non ho semplificato perchè tanto non mi importa, la devo studiare nel punto 0). La derivata terza dovrebbe essere negativa nel punto 0 e quindi
DUBBIO 3: in x=0 ci dovrebbe essere un flesso orizzontale disc.
NON ci dovrebbero essere altri flessi.. ne altre concavità...
esatto?? dove sbaglio?
Intanto
$ F'(x)=x^2e^{-2x} $ senza il meno
$ F''(x)=(2x-2x^2)e^{-2x} $ che è positiva nell'intervallo $ (0,1) $. Pertanto la funzione è convessa (concava verso l'alto) nell'intervallo $ (0,1) $.
I punti $ x=0 $ e $ x=1 $, dove la funzione cambia la concavità, sono punti di flesso.
Ora non ho fatto calcoli, comunque direi che $ x=0 $ è un flesso a tangente orizzontale mentre $ x=1 $ è a tangente obliqua.
$ F'(x)=x^2e^{-2x} $ senza il meno
$ F''(x)=(2x-2x^2)e^{-2x} $ che è positiva nell'intervallo $ (0,1) $. Pertanto la funzione è convessa (concava verso l'alto) nell'intervallo $ (0,1) $.
I punti $ x=0 $ e $ x=1 $, dove la funzione cambia la concavità, sono punti di flesso.
Ora non ho fatto calcoli, comunque direi che $ x=0 $ è un flesso a tangente orizzontale mentre $ x=1 $ è a tangente obliqua.
Piera ha scritto:Intanto
$ F'(x)=x^2e^{-2x} $ senza il meno
$ F''(x)=(2x-2x^2)e^{-2x} $ che è positiva nell'intervallo $ (0,1) $. Pertanto la funzione è convessa (concava verso l'alto) nell'intervallo $ (0,1) $.
I punti $ x=0 $ e $ x=1 $, dove la funzione cambia la concavità, sono punti di flesso.
Ora non ho fatto calcoli, comunque direi che $ x=0 $ è un flesso a tangente orizzontale mentre $ x=1 $ è a tangente obliqua.
Quindi lasciando stare i calcoli e i valori, comunque la procedura che ho fatto è esatta... no?
Re: Chiarimenti su integrali
Va beh su dai... non importa... più o meno quelle cose le so fare... l'ultima cosa che mi potrebbe servire è sapere se la formula che utilizzo per calcolare la media integrale è esatta ( la funzione non è continua nell'intervallo... è questo il problema)... grazie ancora del vostro aiuto...
Sosuke ha scritto: 1)In un esercizio viene richiesto di calcolare in un determinato intervallo la media integrale di una funzione $ f(x) $. Ecco come mi comporto:
-Cerco i punti critici della funzione;
-Calcolo la nuova funzione
-Calcolo l'integrale
-Calcolo la media
Forse rendo più chiare le idee se scrivo qualche esempio:
$ f(x)=x^2-sgn(x+1)+|1-H(x+1)| $
Calcolo i punti critici (i punti dove la funzione non può esistere o dove cambia valore)
La funzione non può esistere solo in $ x=-1 $ e assume i seguenti valori:
Per $ x \in [-2,-1[ $ -> $ f(x)=x^2+2 $
Per $ x \in ]-1,1] $ -> $ f(x)=x^2-1 $
Quindi calcolo l' integrale
$ \displaystyle\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{-1+2}\int_{-2}^{-1}(x^2+2)dx+\frac{1}{1+1}\int_{-1}^1(x^2-1)dx $
Da qui calcolo la media come tutti gli altri integrali definiti. Ma la formula è corretta?
Alcune cose che hai scritto non mi sono chiare, comunque supponi di dover calcolare il valor medio $ \dfrac{\int_a^bf(x)dx}{b-a} $della funzione
$ f(x) = x^2+2 $ se $ -2 \le x <-1 $
$ f(x)=x^2-1 $ se $ -1 \le x \le 1 $
nell'intervallo $ [-2,1] $, quello che devi fare è calcolare il valore della seguente espressione
$ \dfrac{\int_{-2}^1f(x)dx}{1-(-2)}=\dfrac{\int_{-2}^{-1}(x^2+2)dx+\int_{-1}^1(x^2-1)dx}{3} $.
Quindi devi spezzare l'integrale in due parti, però il denominatore deve essere sempre $ b-a $ dove $ a $ e $ b $ sono gli estremi di integrazione, ovvero -2 e 1.
$ f(x) = x^2+2 $ se $ -2 \le x <-1 $
$ f(x)=x^2-1 $ se $ -1 \le x \le 1 $
nell'intervallo $ [-2,1] $, quello che devi fare è calcolare il valore della seguente espressione
$ \dfrac{\int_{-2}^1f(x)dx}{1-(-2)}=\dfrac{\int_{-2}^{-1}(x^2+2)dx+\int_{-1}^1(x^2-1)dx}{3} $.
Quindi devi spezzare l'integrale in due parti, però il denominatore deve essere sempre $ b-a $ dove $ a $ e $ b $ sono gli estremi di integrazione, ovvero -2 e 1.