Chiarimenti su integrali

[Sosuke]

Salve a tuta la community A giorni avrò l'esame di Istituzioni di matematica e spero che mi possiate aiutare a risolvere i miei ultimi dubbi sugli integrali.

1)In un esercizio viene richiesto di calcolare in un determinato intervallo la media integrale di una funzione $ f(x) $. Ecco come mi comporto:
-Cerco i punti critici della funzione;
-Calcolo la nuova funzione
-Calcolo l'integrale
-Calcolo la media

Forse rendo più chiare le idee se scrivo qualche esempio:
$ f(x)=x^2-sgn(x+1)+|1-H(x+1)| $

Calcolo i punti critici (i punti dove la funzione non può esistere o dove cambia valore)
La funzione non può esistere solo in $ x=-1 $ e assume i seguenti valori:
Per $ x \in [-2,-1[ $ -> $ f(x)=x^2+2 $
Per $ x \in ]-1,1] $ -> $ f(x)=x^2-1 $

Quindi calcolo l' integrale
$ \displaystyle\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{-1+2}\int_{-2}^{-1}(x^2+2)dx+\frac{1}{1+1}\int_{-1}^1(x^2-1)dx $
Da qui calcolo la media come tutti gli altri integrali definiti. Ma la formula è corretta?



2) Un esercizio chiede di calcolare una primitiva in un determinato punto data una funzione. La funzione è questa:

$ f(x)=\frac{x^2+1}{x^2(x+1)} $

Il professore ha risolto così:
$ \frac{x^2+1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1} $

Da qui in poi, in teoria saprei continuare.. quello che non capisco è perchè c'è quella $ C $ (forse perchè è di terzo grado il denominatore?) e i denominatori di $ A, B, C $ come sono stati scelti?


3)L'ultimo esercizio con gli integrali solitamente richiede di determinare gli intervalli di concavità o convessità e i punti flesso di una funzione. La funzione è sempre simile a questa:

$ F(x)=\displaystyle\int_{-2}^{-e^{-x}}|t|log^2|t|dt $

E qui non so proprio come mi devo comportare. Se ho capito bene devo sostituire (in questo caso) $ t $ con $ -e^{-x} $.

Se la funzione invece fosse stata $ F(x)=\displaystyle\int_{-e^{-x}}^{2}|t|log^2|t|dt $ allora dovevo cambiare segno all'integrale, invertire gli intervalli e comportarmi come prima... cioè, la funzione sarebbe diventata $ F(x)=\displaystyle-\int_{-2}^{-e^{-x}}|t|log^2|t|dt $

Esatto?

E se l'incognita l'avessi sia come estremo superiore che come estremo inferiore, in quel caso, come mi dovrei comportare?

Spero nel vostro aiuto almeno in uno di questi punti. Vi ringrazio in anticipo.

[MdF]

2) Un esercizio chiede di calcolare una primitiva in un determinato punto data una funzione. La funzione è questa:

$ f(x)=\frac{x^2+1}{x^2(x+1)} $

Il professore ha risolto così:
$ \frac{x^2+1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1} $

Da qui in poi, in teoria saprei continuare.. quello che non capisco è perchè c'è quella $ C $ (forse perchè è di terzo grado il denominatore?) e i denominatori di $ A, B, C $ come sono stati scelti?

Per risolvere correttamente questo integrale conviene (come è stato fatto) scomporre la funzione integranda in una somma di funzioni: è come se tu operassi al contrario (solitamente, in matematica, si sommano funzioni per averne una sola). Questo perché integrare una singola funzione più piccola, di tipo frazionario, porta abbastanza agevolmente a risultati tipo il logaritmo naturale o l'arcotangente.
I denominatori delle 3 frazioni nascono dalla scomposizione in fattori del denominatore dell'integranda. Il problema qua sorge perché $ x^2 $, in sede di scomposizione, crea una prima frazione con denominatore $ x^2 $ e una seconda con denominatore $ x $. Poiché tutti e tre i denominatori sono di primo grado e semplici, i numeratori incogniti $ A, B, C $ sono termini noti (altrimenti avresti avuto forme del tipo $ Mx + N $ a numeratore). La motivazione della presenza dei 3 numeratori incogniti è dovuta al fatto di dover cercare i singoli fattori da integrare, con questo metodo a ritroso che io chiamo dei fratti semplici. Il fatto che siano tre incognite è dovuto alla presenza di un denominatore così composto.

Spero sia più chiaro, resto a disposizione.

[Sosuke]

Poiché tutti e tre i denominatori sono di primo grado e semplici, i numeratori incogniti $ A, B, C $ sono termini noti (altrimenti avresti avuto forme del tipo $ Mx + N $ a numeratore).
Spero sia più chiaro, resto a disposizione.

$ \frac{x^2+1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1} $

Ma uno dei tre denominatori non è di secondo grado oppure ho sbagliato io a scrivere?

[MdF]

$ x^2 $ è di secondo grado, ma semplice. Non è un polinomio di secondo grado, ma un fattore di secondo grado semplice (infatti devi creare dei fattori con tutti i fattori di grado minore: ad es., se avessi $ x^4 $ dovresti avere ben 4 frazioni, con tutte le $ x $ da $ x^4 $ a $ x $).
Diciamo che un polinomio di secondo grado, se è scomponibile in polinomi di grado minore non lo consideri di secondo grado, perché consideri i fattori di grado minore. Solo se il polinomio di secondo grado non lo puoi scomporre (classico caso del $ \displaystyle\Delta < 0 $) ti tocca usarlo, ed è di secondo grado.

[Sosuke]

$ x^2 $ è di secondo grado, ma semplice. Non è un polinomio di secondo grado, ma un fattore di secondo grado semplice (infatti devi creare dei fattori con tutti i fattori di grado minore: ad es., se avessi $ x^4 $ dovresti avere ben 4 frazioni, con tutte le $ x $ da $ x^4 $ a $ x $).
Diciamo che un polinomio di secondo grado, se è scomponibile in polinomi di grado minore non lo consideri di secondo grado, perché consideri i fattori di grado minore. Solo se il polinomio di secondo grado non lo puoi scomporre (classico caso del $ Delta > 0 $) ti tocca usarlo, ed è di secondo grado.

Ah ok ok... forse ci sono. Quindi se per esempio avessi avuto
$ \frac{x^2+1}{x^4(x+1)}=\frac{A}{x^4}+\frac{B}{x^3}+\frac{C}{x^2}+\frac{D}{x}+\frac{E}{x+1} $

Esatto?

E in questo caso invece come dovrebbe essere?
$ \displaystyle f(x)=\frac{1-x^2}{x(x^2+1)} $

Devo comportarmi come se $ Delta < 0 $?

[MdF]

Quindi se per esempio avessi avuto
$ $\frac{x^2+1}{x^4(x+1)}=\frac{A}{x^4}+\frac{B}{x^3}+\frac{C}{x^2}+\frac{D}{x}+\frac{E}{x+1}$ $

Esatto?

Esatto!

E in questo caso invece come dovrebbe essere?
$ \displaystyle f(x)=\frac{1-x^2}{x(x^2+1)} $

Devo comportarmi come se $ $\Delta < 0$ $?

Ancora esatto (prima avevo invertito maggiore con minore, pardon)! La soluzione è:

$ \displaystyle\frac{1-x^2}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1} $

(OT: mamma mia, riesco a usare il $ \LaTeX $, grazie!)

[Sosuke]

Ok ti ringrazio... ora almeno un punto è chiaro

[Sosuke]

1)In un esercizio viene richiesto di calcolare in un determinato intervallo la media integrale di una funzione $ f(x) $. Ecco come mi comporto:
-Cerco i punti critici della funzione;
-Calcolo la nuova funzione
-Calcolo l'integrale
-Calcolo la media

Forse rendo più chiare le idee se scrivo qualche esempio:
$ f(x)=x^2-sgn(x+1)+|1-H(x+1)| $

Calcolo i punti critici (i punti dove la funzione non può esistere o dove cambia valore)
La funzione non può esistere solo in $ x=-1 $ e assume i seguenti valori:
Per $ x \in [-2,-1[ $ -> $ f(x)=x^2+2 $
Per $ x \in ]-1,1] $ -> $ f(x)=x^2-1 $

Quindi calcolo l' integrale
$ \displaystyle\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{-1+2}\int_{-2}^{-1}(x^2+2)dx+\frac{1}{1+1}\int_{-1}^1(x^2-1)dx $
Da qui calcolo la media come tutti gli altri integrali definiti. Ma la formula è corretta?



3)L'ultimo esercizio con gli integrali solitamente richiede di determinare gli intervalli di concavità o convessità e i punti flesso di una funzione. La funzione è sempre simile a questa:

$ F(x)=\displaystyle\int_{-2}^{-e^{-x}}|t|log^2|t|dt $

E qui non so proprio come mi devo comportare. Se ho capito bene devo sostituire (in questo caso) $ t $ con $ -e^{-x} $.

Se la funzione invece fosse stata $ F(x)=\displaystyle\int_{-e^{-x}}^{2}|t|log^2|t|dt $ allora dovevo cambiare segno all'integrale, invertire gli intervalli e comportarmi come prima... cioè, la funzione sarebbe diventata $ F(x)=\displaystyle-\int_{-2}^{-e^{-x}}|t|log^2|t|dt $

Esatto?

E se l'incognita l'avessi sia come estremo superiore che come estremo inferiore, in quel caso, come mi dovrei comportare?

Spero nel vostro aiuto almeno in uno di questi punti. Vi ringrazio in anticipo.

Qualcuno sa aiutarmi anche in questi 2 punti? Vi ringrazio in anticipo...

[MdF]

1)In un esercizio viene richiesto di calcolare in un determinato intervallo la media integrale di una funzione $ f(x) $.
[...]
Quindi calcolo l' integrale
$ \displaystyle\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{-1+2}\int_{-2}^{-1}(x^2+2)dx+\frac{1}{1+1}\int_{-1}^1(x^2-1)dx $
Da qui calcolo la media come tutti gli altri integrali definiti. Ma la formula è corretta?

Premesso che non conosco la formula iniziale dell'esercizio 1), credo che la formula della media non sia corretta. Se la funzione non esiste in $ -1 $, non puoi porre questo valore come estremo. Quindi devi calcolare i limiti dei due integrali:
$ \displaystyle=\lim_{m\to-1}\left[\frac{1}{m+2}\int_{-2}^{m}(x^2+2)dx\right]+\lim_{m\to-1}\left[\frac{1}{1-m}\int_{m}^1(x^2-1)dx\right] $
Ecco, direi così. Se qualcuno di più ferrato volesse controllare ci farebbe un piacere.

3)L'ultimo esercizio con gli integrali solitamente richiede di determinare gli intervalli di concavità o convessità e i punti flesso di una funzione.

Per questo non ti so proprio aiutare, mi spiace.

[Sosuke]

1)In un esercizio viene richiesto di calcolare in un determinato intervallo la media integrale di una funzione $ f(x) $.
[...]
Quindi calcolo l' integrale
$ \displaystyle\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{-1+2}\int_{-2}^{-1}(x^2+2)dx+\frac{1}{1+1}\int_{-1}^1(x^2-1)dx $
Da qui calcolo la media come tutti gli altri integrali definiti. Ma la formula è corretta?

Premesso che non conosco la formula iniziale dell'esercizio 1), credo che la formula della media non sia corretta. Se la funzione non esiste in $ -1 $, non puoi porre questo valore come estremo. Quindi devi calcolare i limiti dei due integrali:
$ \displaystyle=\lim_{m\to-1}\left[\frac{1}{m+2}\int_{-2}^{m}(x^2+2)dx\right]+\lim_{m\to-1}\left[\frac{1}{1-m}\int_{m}^1(x^2-1)dx\right] $
Ecco, direi così. Se qualcuno di più ferrato volesse controllare ci farebbe un piacere.

Forse mi hai dato un' illuminazione.. se dovessi mettere come estremo $ a+epsilon $??? se qualcuno confermass sarebbe meglio

[MdF]

Cosa sarebbe $ \displaystyle a+\varepsilon $?

[Sosuke]

Onestamente non ricordo perchè sono un pò confuso... ricordo che $ \displaystyle \varepsilon $ rappresentava un numero reale molto piccolo, però non ricordo quando si utilizzava... se con i limiti o se con gli integrali... sto cercando negli appunti ma non trovo nulla...

[Sosuke]

Ecco dove... quando ho studiato gli integrali impropri... però quelli sono in Istituzioni di matematica 2... Questo esercizio è nell'esame di Ist. di Mat. 1

[MdF]

Quindi intendi l'errore $ $\varepsilon$ $ che si usa nei limiti, o nel criterio generale di convergenza di Cauchy, o... Insomma, quel valore che (prendendolo piccolo a piacere) non impedisca la verità di quel che si sta facendo.
So che si usa coi limiti, ma in questo caso non saprei proprio dove cacciarlo.

[Piera]

Esercizio 3)
Vale il seguente risultato (teorema fondamentale del calcolo integrale)
$ D\int_a^xf(t)dt=f(x) $ se la funzione f è continua.
D sta per derivata.
Se invece si ha $ F(x)=\int_a^{g(x)}f(t)dt $, applicando il teorema di derivazione delle funzioni composte,
$ DF(x)=f(g(x))g'(x) $.
Nel tuo esercizio ottieni
$ F'(x)=e^{-x}\log^2e^{-x}*e^x $ (adesso $ g(x)=-e^{-x} $)
e derivando ulteriormente puoi studiare la concavità/convessità della funzione.
Se, ad esempio, hai $ F(x)=\int_x^0e^{t^2}dt $ puoi invertire gli estremi cambiando segno (come appunto hai fatto):
$ F(x)=-\int_0^xe^{t^2}dt $

Se invece hai $ F(x)=\int_x^{2x}e^{t^2}dt $, la funzione può essere riscritta come $ F(x)=\int_0^{2x}e^{t^2}dt-\int_0^xe^{t^2}dt $, e applicare le regole dette sopra.
Vado di fretta, quindi spero di non aver commesso errori!