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inoltre, la sostituzione
$ ~ x \rightarrow (\sqrt{x})^2 $ ti permette di renderla definita solo per $ ~ x\ge 0 $
$ ~ x \rightarrow \exp{(\ln{x})} $ ti permette di renderla definita solo per $ ~ x> 0 $
se vuoi avere una funzione "auto-definita" solo sugli interi (un dominio "periodico") conviene usare una funzione periodica. $ ~ \cos^2(x\pi) $ vale 1 se $ ~ x\in\mathbb{Z} $, $ ~ <1 $ altrimenti, quindi $ ~ \cos^2(x\pi) -1 $ vale 0 se $ ~ x\in\mathbb{Z} $ ed e' negativa altrimenti, quindi $ ~ \sqrt{\cos^2(x\pi) -1} $ e' definita solo su $ ~ \mathbb{Z} $

OK, ora ho colto il senso del tuo intervento. Hai interpretato la richiesta come: una funzione non definta se non sui Naturali!
Ma se x è complesso?

Ciao

sono cavoli! dato che su $ ~ \mathbb{C}^* $ sono definite tutte le funzioni
(piu' che altro le loro generatrici: $ ~ \frac{1}{z-s}\rightarrow \frac{1}{z} $, consideriamo a meno di rotazioni e traslazioni)

A mio modesto avviso i dubbi sorgono perché il problema non è posto in modo del tutto rigoroso.

Anzitutto perché per rispettare la condizione di $ x $ intero non nullo potrei utilizzare una funzione come quella individuata da BMcKmas e aggiungendoci $ x\in\mathbb{N} $.

E poi perché esprimere in forma "unica" tale funzione richiede comunque il ricorso a funzioni che non sono esprimibili in forma "unica", come $ \Theta(x) $ o $ \textrm{sgn}(x) $ o $ |x| $.

Ad esempio introducendo la funzione di Heaviside si può scrivere:

$ \displaystyle{ f(x) = x \left[1-\Theta(x-30)\right] + 30 \, \Theta (x-30) $ per $ x\in\mathbb{N}} $

oppure, introducendo la funzione $ \textrm{sgn}(x) $ si può scrivere:

$ \displaystyle{ f(x) = \frac{x}{2} \left[1-\textrm{sgn}(x-30)\right] + 15 \left[1+ \textrm{sgn}(x-30)\right] } $ per $ x\in\mathbb{N} $

A mio avviso sarebbe carino riformulare il problema in questo modo:

Trovare l'espressione di una funzione $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ definita solo per $ x\in\mathbb{N} $, scritta in modo unico e utilizzando solo funzioni elementari o la funzione valore assoluto, tale che per $ 0 \leq x \leq 30 $ sia $ y=x $ e per $ x > 30 $ sia $ y = 30 $.

Una soluzione valida a questo problema "riformulato" è quella di SkZ.
Penso vada bene anche la seguente (ottenuta con gli stessi ragionamenti di SkZ):

$ \displaystyle{f(x) = \exp{\sqrt{\cos^2[\pi (\sqrt{x})^2]-1}}} \left\{ 15 + \left \frac{x}{2}\right -\left | 15 - \frac{x}{2} \right| \right\} } $

Sì, solo una cosa: stai attento a scrivere $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, perchè così secondo la convenzione più in uso (e anche più sensata, qualcuno dice) supponi che la f sia definita su tutto il dominio (R).

Per formulare correttamente il problema penso dovresti chiedere di trovare una "formula" che definisca una funzione da N in R, e tale che sia possibile estendere il suo dominio ad A, con $ \mathbb{N} \subset A \subset \mathbb{R}, A \neq \mathbb{N} $, senza che perda significato.

edriv ha scritto:Sì, solo una cosa: stai attento a scrivere $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, perchè così secondo la convenzione più in uso (e anche più sensata, qualcuno dice) supponi che la f sia definita su tutto il dominio (R).

Per formulare correttamente il problema penso dovresti chiedere di trovare una "formula" che definisca una funzione da N in R, e tale che sia possibile estendere il suo dominio ad A, con $ \mathbb{N} \subset A \subset \mathbb{R}, A \neq \mathbb{N} $, senza che perda significato.

Sicuramente la tua formulazione è più rigorosa.
Io con $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ intenderei $ \mathbb{R} $ come insieme di partenza e $ \mathbb{R} $ come insieme di arrivo ma è sicuramente ambiguo.
Grazie per la precisazione.

attenzione che la nostra funzione non e' $ ~ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $, ma $ ~ \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R} $
la definizione di funzione impone che ad ogni elemento di X sia assegnato un elemento di Y.
Se poniamo $ ~ \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ abbiamo solo una relazione.

Scusate se mi intrometto, ma mi sfugge il senso di tutta questa discussione. Matematicamente il problema non è ben definito. Tutta questa precisazione non vuole essere una polemica con chi si diverte a trovare formule opportune. Vorrei solo che chi legge evitasse fraintendimenti su dominio e codominio di una funzione.

Grosso modo si chiede una formula per una funzione definita a tratti; inoltre si vuole che questa formula abbia senso solo quando l'argomento è un numero naturale.

Il problema è che le funzioni non "hanno senso" su un argomento quando gli pare a loro. Ogni funzione ha un suo dominio e un suo codominio, che fanno parte della definizione di funzione, insieme all'eventuale formula. Ad esempio la funzione

$ f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $

$ f(x)=x^2 $

è diversa dalla funzione

$ f: \mathbb{R} \mapsto [0, +\infty[ $

$ f(x)=x^2 $
perché il codominio è diverso. Infatti la seconda è surgettiva, la prima no.

Ciò detto non ha molto senso dire, ad esempio, che il logaritmo è definito solo su $ \mathbb{R}_+ $. Dipende. Uno può definire il logaritmo dando un dominio più piccolo, o anche più grande: c'è una definizione ragionevole di logaritmo su tutti i complessi meno l'asse reale negativo, a valori complessi.

Risolvere questo problema può stimolare a trovare qualche trucco, ma matematicamente una soluzione può essere "sia pippo la funzione che è soluzione del problema, e che è definita solo sui naturali fino a 30. Allora si può scrivere f in forma unica con la formula f(x)=pippo(x)".

Usare logaritmi e altre funzioni sposta solo il problema. Il logaritmo è definito sull'asse reale positivo perché così ci siamo accordati, non perché sia impossibile definirlo sui negativi o "non abbia senso" calcolato sui negativi.

Purtroppo al liceo si insiste molto sul cosiddetto "campo di esistenza" di una funzione, che non è un concetto matematicamente ben definito. Quello che è definito è il dominio e il codominio, ma questi non si ricavano da una formula.

Cos'è la funzione di Heaviside?

Concordo pienamente con NonnoBassotto.

ciao

Non gli si puo' dare proprio torto: piu' che su definizioni ci basiamo su convenzioni (comportamento non strettamente matematico, piu' fisico)

Beh .... anche le definizioni sono convenzioni. Direi solo che il suo ragionamento è più rigoroso.
Non tireri qui in ballo la Fisica, che a mio avviso, centra ben poco con il problema.

ciao

Non parlavo di Fisica ma di comportamento in stile fisico, ovvero seguito dai fisici. A volte in ambito fisica l'estremo rigore non porta da nessuna parte oppure non aiuta, in matematica piu' sei rigoroso piu' ottieni.

Non condivido questa visione che mi sembra un luogo comune, ma non voglio polemizzare anche per non andare fuori tema.

ciao