x^3+2x+1=2^y
Re: x^3+2x+1=2^y
sonia995 non vorrei scoraggiarti ma le soluzioni da te postate denotano la tua grande inesperienza in problemi del genere, che ti portano a fare molti errori e a scrivere cose poco sensate matematicamente. Se sei all'inizio dell'esperienza olimpica lascia perdere (quasi tutti) i problemi postati qua, poichè richiedono spesso e volentieri conoscenze avanzate senza le quali non possono in alcun modo essere risolti. Concentrati invece nel provare a risolvere le prove di Archimede e successivamente di Febbraio degli anni passati, chiedendo sul forum se hai dubbi su qualche problema. Successivamente potrai affinare anche la tua "tecnica" attraverso dispense e video, imparando nuove cose e potendo tentare con successo di risolvere problemi come questo
Re: x^3+2x+1=2^y
lo so, ho provato perchè mi son detta almeno uno devo risolvero XDndp15 ha scritto:sonia995 non vorrei scoraggiarti ma le soluzioni da te postate denotano la tua grande inesperienza in problemi del genere, che ti portano a fare molti errori e a scrivere cose poco sensate matematicamente. Se sei all'inizio dell'esperienza olimpica lascia perdere (quasi tutti) i problemi postati qua, poichè richiedono spesso e volentieri conoscenze avanzate senza le quali non possono in alcun modo essere risolti. Concentrati invece nel provare a risolvere le prove di Archimede e successivamente di Febbraio degli anni passati, chiedendo sul forum se hai dubbi su qualche problema. Successivamente potrai affinare anche la tua "tecnica" attraverso dispense e video, imparando nuove cose e potendo tentare con successo di risolvere problemi come questo
mi sa che ripasserò di qui fra un pò di tempo per ora lascio stare
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paga92aren
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Re: x^3+2x+1=2^y
Una prima osservazione che hai fatto è che $x$ deve essere dispari, quindi $x\equiv 1$ (mod 2).
Come dimostrare: prendo il caso in cui $x\equiv 0$ (2). Anche $x^3\equiv 0$ (2), quindi sostituendo nell'equazione:
$x^3+2x+1\equiv 0+2*0+1\equiv 1$
Ma sappiamo che $2^y \equiv 0$ (2) quindi se scelgo x pari non ho mai l'uguaglianza.
Controllo il caso $x\equiv 1$ (2) sperando che risulti anche questo impossibile (in questo caso avrei che quell'equazione non ha mai soluzioni intere):
$x^3+2x+1\equiv 1+2*1+1 \equiv 0$ (2)
Purtroppo x dispari può avere delle soluzioni.
Come dimostrare: prendo il caso in cui $x\equiv 0$ (2). Anche $x^3\equiv 0$ (2), quindi sostituendo nell'equazione:
$x^3+2x+1\equiv 0+2*0+1\equiv 1$
Ma sappiamo che $2^y \equiv 0$ (2) quindi se scelgo x pari non ho mai l'uguaglianza.
Controllo il caso $x\equiv 1$ (2) sperando che risulti anche questo impossibile (in questo caso avrei che quell'equazione non ha mai soluzioni intere):
$x^3+2x+1\equiv 1+2*1+1 \equiv 0$ (2)
Purtroppo x dispari può avere delle soluzioni.
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minima.distanza
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Re: x^3+2x+1=2^y
dalle ipotesi si deduce prima che $ x\equiv 1 \mod{4} \land y \equiv 0 \mod{2} $.
Si deve dimostrare che $ x(x^2+2) = 2^y-1 $. Da quanto detto sopra $ x= 4j+1 $ si calcola banalmente che $ x^2+2 \equiv 3 \mod{4} $.
dimostro ora che $ x=4j+1 \land x^2+2 \equiv 3 \mod{4} \rightarrow j=0 $. supponiamo per assurdo che così non sia: in tal caso si ha che $ x = 2^nk+1 \land x^2+2 \equiv 3 \mod{2^n}\rightarrow x^2+2 = 2^{2n}k^2+2^{n+1}k +1 +2 =2^{n+1}(2^{n-1}k^2+2)+3 \equiv 3 \mod{2^{n+1}} $
da questo fatto consegue che l'unico valore di k ammissibile è lo zero in quanto se fosse altrimenti beh, x dovrebbe essere infinito in quanto congruo ad uno in modulo $ 2^n $ con n grande a piacere. ne deriva che l'unico x accettabile è 1 e che qunidi l'unica soluzione è $ (1,2) $
Si deve dimostrare che $ x(x^2+2) = 2^y-1 $. Da quanto detto sopra $ x= 4j+1 $ si calcola banalmente che $ x^2+2 \equiv 3 \mod{4} $.
dimostro ora che $ x=4j+1 \land x^2+2 \equiv 3 \mod{4} \rightarrow j=0 $. supponiamo per assurdo che così non sia: in tal caso si ha che $ x = 2^nk+1 \land x^2+2 \equiv 3 \mod{2^n}\rightarrow x^2+2 = 2^{2n}k^2+2^{n+1}k +1 +2 =2^{n+1}(2^{n-1}k^2+2)+3 \equiv 3 \mod{2^{n+1}} $
da questo fatto consegue che l'unico valore di k ammissibile è lo zero in quanto se fosse altrimenti beh, x dovrebbe essere infinito in quanto congruo ad uno in modulo $ 2^n $ con n grande a piacere. ne deriva che l'unico x accettabile è 1 e che qunidi l'unica soluzione è $ (1,2) $