OliForum Matematico

sonia995 non vorrei scoraggiarti ma le soluzioni da te postate denotano la tua grande inesperienza in problemi del genere, che ti portano a fare molti errori e a scrivere cose poco sensate matematicamente. Se sei all'inizio dell'esperienza olimpica lascia perdere (quasi tutti) i problemi postati qua, poichè richiedono spesso e volentieri conoscenze avanzate senza le quali non possono in alcun modo essere risolti. Concentrati invece nel provare a risolvere le prove di Archimede e successivamente di Febbraio degli anni passati, chiedendo sul forum se hai dubbi su qualche problema. Successivamente potrai affinare anche la tua "tecnica" attraverso dispense e video, imparando nuove cose e potendo tentare con successo di risolvere problemi come questo

ndp15 ha scritto:sonia995 non vorrei scoraggiarti ma le soluzioni da te postate denotano la tua grande inesperienza in problemi del genere, che ti portano a fare molti errori e a scrivere cose poco sensate matematicamente. Se sei all'inizio dell'esperienza olimpica lascia perdere (quasi tutti) i problemi postati qua, poichè richiedono spesso e volentieri conoscenze avanzate senza le quali non possono in alcun modo essere risolti. Concentrati invece nel provare a risolvere le prove di Archimede e successivamente di Febbraio degli anni passati, chiedendo sul forum se hai dubbi su qualche problema. Successivamente potrai affinare anche la tua "tecnica" attraverso dispense e video, imparando nuove cose e potendo tentare con successo di risolvere problemi come questo

lo so, ho provato perchè mi son detta almeno uno devo risolvero XD

mi sa che ripasserò di qui fra un pò di tempo per ora lascio stare

Una prima osservazione che hai fatto è che $x$ deve essere dispari, quindi $x\equiv 1$ (mod 2).

Come dimostrare: prendo il caso in cui $x\equiv 0$ (2). Anche $x^3\equiv 0$ (2), quindi sostituendo nell'equazione:
$x^3+2x+1\equiv 0+2*0+1\equiv 1$
Ma sappiamo che $2^y \equiv 0$ (2) quindi se scelgo x pari non ho mai l'uguaglianza.

Controllo il caso $x\equiv 1$ (2) sperando che risulti anche questo impossibile (in questo caso avrei che quell'equazione non ha mai soluzioni intere):
$x^3+2x+1\equiv 1+2*1+1 \equiv 0$ (2)
Purtroppo x dispari può avere delle soluzioni.

dalle ipotesi si deduce prima che $ x\equiv 1 \mod{4} \land y \equiv 0 \mod{2} $.

Si deve dimostrare che $ x(x^2+2) = 2^y-1 $. Da quanto detto sopra $ x= 4j+1 $ si calcola banalmente che $ x^2+2 \equiv 3 \mod{4} $.
dimostro ora che $ x=4j+1 \land x^2+2 \equiv 3 \mod{4} \rightarrow j=0 $. supponiamo per assurdo che così non sia: in tal caso si ha che $ x = 2^nk+1 \land x^2+2 \equiv 3 \mod{2^n}\rightarrow x^2+2 = 2^{2n}k^2+2^{n+1}k +1 +2 =2^{n+1}(2^{n-1}k^2+2)+3 \equiv 3 \mod{2^{n+1}} $
da questo fatto consegue che l'unico valore di k ammissibile è lo zero in quanto se fosse altrimenti beh, x dovrebbe essere infinito in quanto congruo ad uno in modulo $ 2^n $ con n grande a piacere. ne deriva che l'unico x accettabile è 1 e che qunidi l'unica soluzione è $ (1,2) $