OliForum Matematico

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 Credo si possano evitare sbudellamenti in serie o Hopitazioni barbare.
 Il problema si può ricondurre a determinare c posto
 
 lim(x->0) ( ln(1+x) - x ) / (x^2) = c
 
 Operando la sostituzione x = -y
 
 lim(x->0) ( ln(1-x) + x ) / (x^2) = c
 
 Sommando i due limiti
 
 1 = lim(x->0) ln(1-x^2) / (x^2) = 2c
 
 ovvero c=1/2. Saludos!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Buon Jack, ciao! Mi spiace di dover interpretare sempre l\'ingrato ruolo di colui che smonta le soluzioni via via proposte sul forum, ma dacché nessun altro pare accorgersi degli errori... dopotutto, il lavoro sporco qualcun dovrà pur farlo, dico giusto? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 E allora... cerchiamo di capire insieme perché la tua soluzione è sbagliata (ancorché riproduca, non certo casualmente, il risultato corretto!!! circostanza - si direbbe - incredibile, ma in verità non troppo...). L\'errore, sostanzialmente, risiede nel fatto che tu assumi l\'esistenza (in realtà, non preventivabile) del limite che ti sei proposto di valutare! E poiché in effetti il calcolo (eseguito in modo giusto e coerente, ma per tutt\'altra via) dimostra che il limite di cui qui si discute effettivamente esiste, il tuo procedimento riproduce (con sommo plauso di quei che l\'han trovato mirabile per eleganza e semplicità d\'argomenti... non è vero, Talpuz? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">) il risultato esatto! Ottenuto tuttavia perseguendo una logica fallace!!! Cercherò di chiarire ulteriormente quel che \'ntendo, servendomi (com\'avrebbe ad essere consuetudo d\'un buon maestro, qual di certo io non sono!) d\'un opportuno exemplum! Supponiamo di voler calcolare il seguente limite:
 
 limx --> 0 sin(1/x) =: c .................(1)
 
 ove, adottando lo stesso ragionamento suggerito dal buon Jack, abbiam posto il limite da calcolarsi pari ad un certo c€R*, ove R* denota (qui) l\'insieme dei reali unito ai suoi due punti all\'infinito. Allora, operando la sostituzione x = - t e considerando che, per x --> 0, è anche t --> 0, se ne deduce parimenti che:
 
 c := limx --> 0 sin(1/x) = limt --> 0 sin(-1/t) = limt --> 0 [-sin(1/t)] ==>
 
 ==> limt --> 0 [-sin(1/t)] = c
 
 perciocché, sommando membro a membro le relazioni (1) e (2) così ottenute, alfine si conclude (ricalcando pedissequamente la soluzione suggerita dal nostro amico Jack) che:
 
 0 = limx --> 0 [sin(1/x) + sin(-1/x)] = limx --> 0 [sin(1/x)] + limx --> 0[-sin(1/x)] = 2c
 
 donde dedurne (banalmente...) c = 0. Errore!!! E\' noto infatti (e se non ci credete ve lo mostro...) che il limite per x --> 0 della funzione f(x) := sin(1/x), con x€R\\{0}, non esiste! Da dove nasce l\'errore? Beh, direi... dall\'averne assunto (illecitamente) l\'esistenza! Ciaaaoooooo...
 
 Salvo Tr. alias euler_25
 
 P.S.: com\'era quel discorso sugli sbudellamenti in serie e le Hopitazioni barbare? Non prendertela, Jack... faccio solo per sfotterti un po\'... spero tu e gli altri abbiate capito (finalmente) che sono, in fondo in fondo, un gran burlone... vedi a mo\' d\'esempio la mia storia d\'amore con il venerabile EvaristeG! Io cazzeggio e lui se la prende sul serio!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 06-01-2004 19:29 ]

up... [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 30-12-2003 20:18 ]

Chiedo venia per l\'imprecisione, nel mio post l\'esistenza
 del limite è implicitamente inclusa nelle premesse.
 Uso il simbolo \"c\" proprio sottointendendo
 un limite finito.
 
 Se l\'esistenza del suddetto è da verificare è in
 qualche misura strettamente necessario un
 passaggio derivatoso o simil-derivatoso, in quanto
 serve una disuguaglianza che faccia da upper-bound
 (nel nostro caso log(x+1)>x-x^2 nell\'intorno destro di 0
 è una buona disuguaglianza \"di contenimento\", ci assicura
 0<=c<=1, ma è \"di secondo livello\", dunque davvero
 difficile da dimostrare per via induttiva standard. Questo,
 peraltro, è un discorso che si generalizza facilmente. Si possono
 produrre soluzioni \"eleganti\" di limiti \"di secondo livello\" solo
 assumendo per buona l\'esistenza di questi ultimi. Almeno
 in genere. Ritengo che Talpuz fosse in cerca proprio di una
 soluzione \"elegante\". Gli sbudellamenti in serie, con un po\'
 di esercizio, vengono \"a macchinetta\", ma in genere lasciano
 con l\'amaro in bocca..)
 
 Puntualizzazione dell\'ultim\'ora:
 Se al posto della \"via induttiva standard\" utilizziamo la
 disuguaglianza di Bernoulli \"potenziata al second\'ordine\"
 (o qualcosa di simile) il sentiero dell\'eleganza torna
 percorribile. L\'esercizio, a questo punto, ci sta bene.
 
 *
 Dimostrare senza derivazioni o sbudellamenti
 che nell\'intorno destro di 0
 log(x+1)> x-x^2
 *
 
 Ringrazio Euler_25 per avermi fornito lo spunto per
 questa doverosa (e spero istruttiva) puntualizzazione.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 31-12-2003 14:26 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-12-30 22:07, J4Ck202 wrote:
 ...Ringrazio Euler_25 per avermi fornito lo spunto per
 questa doverosa (e spero istruttiva) puntualizzazione.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Figurati, caro!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 
 Salvo alias euler_25
 
 P.S.: direi molto più che istruttiva... quasi illuminante... ne riparleremo presto, in ogni caso... stanne pur certo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 04-01-2004 23:18 ]

Nice again to meet you, Jack! Eravamo rimasti al tuo pomposo comizio sul conto di certune \"diseguaglianze di contenimento\", così le hai chiamate... della cui utilità, dacché sono un po\' tardo e me ne scuso..., mi sfugge come il senso così pur l\'extrema ratio! Non mi è chiaro se tu voglia utilizzare il boundary di cui hai detto nel tuo ultimo intervento su questo medesimo topic per calcolare con eleganza, parafrasando non tropppo il tuo pensiero, il limite proposto dal buon Talpuz. Mi permetto di farti notare, a questo proposito, che pure la presenza di limitazioni di massima sui possibili valori del limite di cui qui si discute, così come da te stabilite là dove affermi che:
 
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 30-12-2003, at 22:07, J4Ck202 wrote:
 ...se l\'esistenza del suddetto è da verificare è in
 qualche misura strettamente necessario un
 passaggio derivatoso o simil-derivatoso, in quanto
 serve una disuguaglianza che faccia da upper-bound
 (nel nostro caso log(x+1)>x-x^2 nell\'intorno destro di 0
 è una buona disuguaglianza \"di contenimento\", ci assicura
 0<=c<=1...
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 non escludono nel modo più categorico che il suddetto limite possa pur sempre non esistere! E di questo non certo che tu stesso te ne sei reso conto: non potrei difatti credere il contrario... E allora, ti chiedo: qual è il senso del tuo ultimo post? Avevi alta la febbre? Passi pure che gli sbudellamenti in serie e le hopitazioni barbare, queste felici espressioni di cui ci hai reso edotti, lasciano talvolta con l\'amarezza in bocca, ma certo concorderemo anche sul fatto che le soluzioni scorrette sono di gran lunga più frustranti... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 18-01-2004 23:46 ]

In un post limitrofo euler ha evidenziato la massima regola deontologica che un matematica deve rispettare: non fare mai affermazioni della cui verità non è certo. Essa però non deve essere un principio assoluto, bensì una norma valida solo quando si esercita il mestiere.
 Lo testimonia lo stesso euler, che quanto a questioni matematiche o parla con la massima congnizione di causa oppure sta zitto (spesso), ma quando si esce da quest\'ambito, dice un sacco di cazzate.

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-19 14:27, lordgauss wrote:
 In un post limitrofo euler ha evidenziato la massima regola deontologica che un matematica deve rispettare: non fare mai affermazioni della cui verità non è certo. Essa però non deve essere un principio assoluto, bensì una norma valida solo quando si esercita il mestiere.
 Lo testimonia lo stesso euler, che quanto a questioni matematiche o parla con la massima congnizione di causa oppure sta zitto (spesso), ma quando si esce da quest\'ambito, dice un sacco di cazzate.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Apprezzabile tentativo, lord! Peccato sia destinato a fallir miseramente, come del resto quell\'altra ingenua provocazione del problema sopra una certa successione ricorrente con cui avevi preteso di farmi meritare... ah ah ah... la tua stima, che ridere! Del resto, se ancor non ti è palese, tra le mie tante e tanto eretiche virtù, annovero tuttavia quell\'inviadibil dote, di cui natura e tempo mi hanno reso premio, per cui mi è dato di rigirar le merde in faccia a chi s\'ingegna in sulla mia a schiantarle, e sono vario e variamente abile in questo giuoco d\'inganni e di sapienti intrighi, tant\'è che lo dimostra il tuo inutile intervento...! Non ti abbattere, lord, ritenta... forse sarai più fortunato! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
 
 Salvo alias euler_25
 
 P.S.: ghghgh... francy, ti amo! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

Topic: lim[x->0] (x - log(x+1)) / (x^2)
 
 Ok, la disuguaglianza non ti assicura che il limite esiste.
 Ma ti assicura che se esiste non è +- infinito, che mi
 sembrava essere il tuo cruccio.
 
 Nell\'intorno destro di 0
 1) log(x+1) < x (induzione \"standard\")
 2) log(x+1) > x-x^2 (induzione \"secondo level\")
 3) se lim[...] esiste, vale 0<= lim[...] <= 1
 4) f(x)=(x-log(x+1))/(x^2) è continua e decrescente
 5) il limite esiste
 
 Desideri che ti dimostri anche lo step 4) oppure
 (auspicabilmente) la tua pedanteria si ritiene paga?

Buon Jack, è cosa nota ormai che la mia pedanteria non conosce limiti... sì come del resto l\'ottusa mia legnosità... ma per questa volta sì che posso ritenermi pago e soddisfatto! Ho ottenuto il mio obiettivo, e questo è quel che conta... ghghgh... davvero non te ne sei avveduto? Beh, io non ci credo, ti stimo per una persona troppo intelligente, per cui... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

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