dopo la chiaccetata a Calde' con EvaristeG e questo topic mi sono sempre piu' convinto che mi devo dare una rinfrescata di analisi&C
come vedi una mano lava l'altra
Monotonia, estremi relativi e punti di non derivabilità
per niente
dopo la chiaccetata a Calde' con EvaristeG e questo topic mi sono sempre piu' convinto che mi devo dare una rinfrescata di analisi&C
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Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
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Penso che l'esercizio sia tutto sbagliato! Le derivate che abbiamo calcolato dovrebbe essere sbagliate. In pratica... le derivate che abbiamo considerato sono:
$ f(x) = log [ 2x^2 + 4x ] $ - > $ f'(x) = \frac {2(x+1)}{x^2 + 2x} $
$ f(x) = log [ 4x^2 - 4x ] $ - > $ f'(x) = \frac {2x - 1}{x^2 - x} $
E invece dovrebbero essere:
$ f(x) = log [ 2x^2 + 4x ] $ - > $ f'(x) = \frac {2(x+1)}{x^2 + 2x}log {e} $
$ f(x) = log [ 4x^2 - 4x ] $ - > $ f'(x) = \frac {2x - 1}{x^2 - x}log {e} $
Esatto?
$ f(x) = log [ 2x^2 + 4x ] $ - > $ f'(x) = \frac {2(x+1)}{x^2 + 2x} $
$ f(x) = log [ 4x^2 - 4x ] $ - > $ f'(x) = \frac {2x - 1}{x^2 - x} $
E invece dovrebbero essere:
$ f(x) = log [ 2x^2 + 4x ] $ - > $ f'(x) = \frac {2(x+1)}{x^2 + 2x}log {e} $
$ f(x) = log [ 4x^2 - 4x ] $ - > $ f'(x) = \frac {2x - 1}{x^2 - x}log {e} $
Esatto?
giusto per curiosità... secondo te quanto fa $ \log e $?
di solito, in matematica, si usa abbastanza indifferentemente $ \log $ o $ \ln $ per indicare il "logaritmo naturale" (credo che in altri campi il primo sia il logaritmo in base 10).
in ogni caso, anche avessimo "sbagliato", l'errore sarebbe solo considerare $ f $ a meno di un fattore costante, che, di fatto, non cambia affatto le cose...
di solito, in matematica, si usa abbastanza indifferentemente $ \log $ o $ \ln $ per indicare il "logaritmo naturale" (credo che in altri campi il primo sia il logaritmo in base 10).
in ogni caso, anche avessimo "sbagliato", l'errore sarebbe solo considerare $ f $ a meno di un fattore costante, che, di fatto, non cambia affatto le cose...
Rieccomi 
spero di non chiedere molto... da parte mia proverò a essere il più chiaro possibile e di non farvi fare nessun calcolo... ho studiato un'altra funzione, magari se potete controllare se è tutto corretto o se manca qualcosa o chiarire altri dubbi/lagune che ho... Allora... la funzione è la seguente:
$ f(c)=log[1+|3e^x-e^{2x}|] $ -> Dominio in tutto $ R $
Studio il valore assoluto:
$ 3e^x-e^{2x} > 0 $
$ e^x(3-e^x)>0 $
$ -e^x>-3 $
$ e^x<3 $
$ x<ln 3 $
Di conseguneza il valore assoluto è positivo quando$ x<ln 3 $.
Riscrivo la funzione e mi calcolo la derivata prima e la derivata seconda:
Quindi per $ x<ln 3 $
$ f(x)= log[1+3^x-e^{2x}] $
$ f'(x)= \frac{3e^x-2e^{2x}}{1+3e^x-e^{2x}} $
$ f''(x)=\frac{3e^x-4e^{2x}-3e^{3x}}{(1+3e^x-e^{2x})^2} $
Per $ x>ln 3 $
$ f(x)= log[1-3^x+e^{2x}] $
$ f'(x)= \frac{-3e^x+2e^{2x}}{1-3e^x+e^{2x}} $
$ f''(x)=\frac{-3e^x+4e^{2x}-3e^{3x}}{(1-3e^x+e^{2x})^2} $
A questo punto trovo gli intervalli di monotonia della funzione.. dovrebbe essere stretta monotonia, ma visto che il segno della derivata dipenda anche dal numeratore, la funzione non dovrebbe essere strettamente monotona (corregetemi se sbaglio )
Considerando la derivata per $ x<ln 3 $, cioè, $ f'(x)= \frac{3e^x-2e^{2x}}{1+3e^x-e^{2x}} $
e considerando la derivata per $ x>ln 3 $, cioè, $ f'(x)= \frac{-3e^x+2e^{2x}}{1-3e^x+e^{2x}} $
ricavo che la funzione è crescente nell'intervallo $ ]-\infty, ln \frac{3}{2}[ U ]ln 3,+\infty[ $ e decrescente nell'intervallo $ ]ln \frac{3}{2},ln 3[ $
Ora devo trovare i punti di estremo relativo (e qui ho qualche dubbio)... facilmente mi trovo un massimo relativo. Cioè pongo mi studio la derivata seconda nel punto in cui la derivata prima si annulla. Quindi:
Per $ x<ln 3 $ la derivata è $ f'(x)= \frac{3e^x-2e^{2x}}{1+3e^x-e^{2x}} $ che si annulla in $ ln \frac{3}{2} $. La derivata seconda nel punto $ ln \frac{3}{2} $ è negativa quindi $ ln \frac{3}{2} $ è un punto di massimo relativo.
Per $ x>ln 3 $ la derivata prima $ f'(x)= \frac{-3e^x+2e^{2x}}{1-3e^x+e^{2x}} $ non si annulla mai.
Mi rimangono da trovare i punti di non derivabilità... e guardando quello hce ho fatto fin'ora l'unico punto in cui dovrei cercarli dovrebbe essere in $ x=ln 3 $. Qui mi studio il limite sinistro e quello destro:
$ lim_{x \rightarrow ln3^-} \frac{3e^x-2e^{2x}}{1+3e^x-e^{2x}}=-\infty $
$ lim_{x \rightarrow ln3^+} \frac{-3e^x+2e^{2x}}{1-3e^x+e^{2x}}=+\infty $
E' tutto esatto? Manca qualcosa? Se magari chiedo troppo facendovi controllare quanto fatto, magari mi potete semplicemente dire se ci sono altri punti di non derivabilità? Inolte, penso che in $ x=ln 3 $ (il punto di non derivabilità) ci sia anche un estremo inferiore relativo... esatto? Se si, come faccio a riconoscere se il punto di non derivabilità è anche un estremo?
Grazie mille
spero di non chiedere molto... da parte mia proverò a essere il più chiaro possibile e di non farvi fare nessun calcolo... ho studiato un'altra funzione, magari se potete controllare se è tutto corretto o se manca qualcosa o chiarire altri dubbi/lagune che ho... Allora... la funzione è la seguente:$ f(c)=log[1+|3e^x-e^{2x}|] $ -> Dominio in tutto $ R $
Studio il valore assoluto:
$ 3e^x-e^{2x} > 0 $
$ e^x(3-e^x)>0 $
$ -e^x>-3 $
$ e^x<3 $
$ x<ln 3 $
Di conseguneza il valore assoluto è positivo quando$ x<ln 3 $.
Riscrivo la funzione e mi calcolo la derivata prima e la derivata seconda:
Quindi per $ x<ln 3 $
$ f(x)= log[1+3^x-e^{2x}] $
$ f'(x)= \frac{3e^x-2e^{2x}}{1+3e^x-e^{2x}} $
$ f''(x)=\frac{3e^x-4e^{2x}-3e^{3x}}{(1+3e^x-e^{2x})^2} $
Per $ x>ln 3 $
$ f(x)= log[1-3^x+e^{2x}] $
$ f'(x)= \frac{-3e^x+2e^{2x}}{1-3e^x+e^{2x}} $
$ f''(x)=\frac{-3e^x+4e^{2x}-3e^{3x}}{(1-3e^x+e^{2x})^2} $
A questo punto trovo gli intervalli di monotonia della funzione.. dovrebbe essere stretta monotonia, ma visto che il segno della derivata dipenda anche dal numeratore, la funzione non dovrebbe essere strettamente monotona (corregetemi se sbaglio
)Considerando la derivata per $ x<ln 3 $, cioè, $ f'(x)= \frac{3e^x-2e^{2x}}{1+3e^x-e^{2x}} $
e considerando la derivata per $ x>ln 3 $, cioè, $ f'(x)= \frac{-3e^x+2e^{2x}}{1-3e^x+e^{2x}} $
ricavo che la funzione è crescente nell'intervallo $ ]-\infty, ln \frac{3}{2}[ U ]ln 3,+\infty[ $ e decrescente nell'intervallo $ ]ln \frac{3}{2},ln 3[ $
Ora devo trovare i punti di estremo relativo (e qui ho qualche dubbio)... facilmente mi trovo un massimo relativo. Cioè pongo mi studio la derivata seconda nel punto in cui la derivata prima si annulla. Quindi:
Per $ x<ln 3 $ la derivata è $ f'(x)= \frac{3e^x-2e^{2x}}{1+3e^x-e^{2x}} $ che si annulla in $ ln \frac{3}{2} $. La derivata seconda nel punto $ ln \frac{3}{2} $ è negativa quindi $ ln \frac{3}{2} $ è un punto di massimo relativo.
Per $ x>ln 3 $ la derivata prima $ f'(x)= \frac{-3e^x+2e^{2x}}{1-3e^x+e^{2x}} $ non si annulla mai.
Mi rimangono da trovare i punti di non derivabilità... e guardando quello hce ho fatto fin'ora l'unico punto in cui dovrei cercarli dovrebbe essere in $ x=ln 3 $. Qui mi studio il limite sinistro e quello destro:
$ lim_{x \rightarrow ln3^-} \frac{3e^x-2e^{2x}}{1+3e^x-e^{2x}}=-\infty $
$ lim_{x \rightarrow ln3^+} \frac{-3e^x+2e^{2x}}{1-3e^x+e^{2x}}=+\infty $
E' tutto esatto? Manca qualcosa? Se magari chiedo troppo facendovi controllare quanto fatto, magari mi potete semplicemente dire se ci sono altri punti di non derivabilità? Inolte, penso che in $ x=ln 3 $ (il punto di non derivabilità) ci sia anche un estremo inferiore relativo... esatto? Se si, come faccio a riconoscere se il punto di non derivabilità è anche un estremo?
Grazie mille
Grazie di tutto