Salve a tutti.. sono nuovo del forum... sto lottando ormai da mesi per capire come si trovano gli intervalli di STRETTA monotonia, i punti di estremo relativo e i punti di non derivabilità di una funzione... La teoria penso di averla capita e il mio problema è quello di sviluppare poi quello che ho studiato con una qualunque funzione.
Allora quello che non mi è chiaro innanzitutto è se gli intervalli di stretta monotonia si trovano alla stessa maniera degli intervalli di monotonia o se sono semplicemente la stessa cosa; e poi, gli estremi relativi sono solo i massimi e minimi o devo studiare anche i limiti (a dx e a sin) della funzione?
Qui di seguito vi indico come studio la funzione:
1) Cerco il dominio della funzione;
2) Per trovare gli intervalli di stretta monotonia derivo la funzione e studio dove è positiva e dove negativa;
3) Per trovare massimi e minimi relativi pongo la derivata prima a 0. Il o i risultati saranno i punti di estremo relativo;
4) Per i punti di non derivabilità, determino il dominio della derivata prima, vedo dove la funzione non è derivabile e studio il limite in quel punto.
Ad esempio per la funzione f(x)= log [ 3x^2 + |4x - x^2| ]
1) Il dominio della funzione è in tutto R escluso il punto 0;
2) trovo la derivata di f(x)... quindi
f'(x) = [(6x + |4 - 2x|) / (3x^2 + |4x - x^2|)]
penso si derivi così con il valore assoluto... la derivata mi risulta negativa per x<1>-1. Quindi la funzione è decrescente per x<1>-1;
3) La derivata prima è =0 nel punto -1 quindi x=-1 rappresenta un minimo relativo (forse anche minimo assoluto);
4) Non ho trovato punti di non derivabilità.
Spero che possiate darmi una mano e aiutarmi a capire ciò che non mi è chiaro vi ringrazio in anticipo per la paziena e l'aiuto... ciao
Monotonia, estremi relativi e punti di non derivabilità
una funzione f(x) e' strettamente monotona su un certo intervallo se ivi e' strettamente crescente o strettamente decrescente (detto in soldoni, se f(x) e' continua e derivabile in quell'intervallo, e' strettamente monotona se f'>0 o f'<0 per ogni punto di quell'intervallo)
la derivata prima di $ \displaystyle f(x)=\ln\left(3x^2+|4x-x^2|\right) $ e' in prima approssimazione $ \displaystyle f'(x)=\frac{6x+sgn(4x-x^2)(4-2x)}{3x^2+|4x-x^2|} $ (lo so che non e' propriamente corretto porre la funzione segno come derivata del modulo, ma in prima approssimazione spero che vada bene)
generalmente si pone se $ f(x)=|g(x)| $ allora $ \displaystyle f'(x)= \frac{|g(x)|}{g(x)}g'(x)= \frac{g(x)}{|g(x)|}g'(x) $ a seconda di cosa ti e' piu' comodo
dato che $ 4x-x^2 $ cambia segno in 0 e in 4 bisogna studiarne i limiti destri e sinistri.
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow4^-}f'(x)=\frac{5}{12}\quad \neq\quad\lim_{x\rightarrow4^+}f'(x)=\frac{7}{12} $, mentre in 0 $ f'(x)\sim\frac{1}{x} $ quindi in 0 e in 4 la funzione non e' derivabile (in 4 e' pero' continua)
la derivata diventa $ f'(x)=\left\{ \begin{array}{ll}0<x<4 & \displaystyle\frac{2(x+1)}{x^2+2x} \\ \\x<0 \lor 4<x & \displaystyle\frac{2x-1}{x^2-x}\\ \\ x\in\{0,4\} & \nexists \\ \end{array}\right. $ quindi non si annulla mai
la derivata prima di $ \displaystyle f(x)=\ln\left(3x^2+|4x-x^2|\right) $ e' in prima approssimazione $ \displaystyle f'(x)=\frac{6x+sgn(4x-x^2)(4-2x)}{3x^2+|4x-x^2|} $ (lo so che non e' propriamente corretto porre la funzione segno come derivata del modulo, ma in prima approssimazione spero che vada bene)
generalmente si pone se $ f(x)=|g(x)| $ allora $ \displaystyle f'(x)= \frac{|g(x)|}{g(x)}g'(x)= \frac{g(x)}{|g(x)|}g'(x) $ a seconda di cosa ti e' piu' comodo
dato che $ 4x-x^2 $ cambia segno in 0 e in 4 bisogna studiarne i limiti destri e sinistri.
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow4^-}f'(x)=\frac{5}{12}\quad \neq\quad\lim_{x\rightarrow4^+}f'(x)=\frac{7}{12} $, mentre in 0 $ f'(x)\sim\frac{1}{x} $ quindi in 0 e in 4 la funzione non e' derivabile (in 4 e' pero' continua)
la derivata diventa $ f'(x)=\left\{ \begin{array}{ll}0<x<4 & \displaystyle\frac{2(x+1)}{x^2+2x} \\ \\x<0 \lor 4<x & \displaystyle\frac{2x-1}{x^2-x}\\ \\ x\in\{0,4\} & \nexists \\ \end{array}\right. $ quindi non si annulla mai
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Onestamente non ricordo che il professore metteva la funzione segno... forse studiava il modulo.. quando veniva positivo o negativo e poi agiva di conseguenza.. ma non sono sicuro... anche perchè se fosse così non saprei proprio come derivare....
Quindi in sostanza se derivavo correttamente la funzione, l'esercizio sarebbe stato giusto... o no?
Quindi in sostanza se derivavo correttamente la funzione, l'esercizio sarebbe stato giusto... o no?
uhm..
qualche piccola precisazione: il fatto che la derivata della funzione "modulo" sia la funzione "segno", è un tantinello impreciso...
anche se, effettivamente, è comodo vederla così, però bisogna starci attenti.
sosuke, la cosa che "ufficialmente" il tuo professore vuole che tu faccia è dire più o meno la seguente cosa:
$ |a| = a $ se $ a>0 $, quindi studio dove l'argomento del modulo è positivo (quindi $ 0<x<4 $), e lì la mia funzione è definita come $ \log(2x^2 + 4x) = \log 2 + \log x + \log (1+2x) $, e la so studiare.
$ |a| = -a $ se $ a<0 $, quindi studio dove l'argomento del modulo è negativo ($ x<0>4 $), e lì la mia funzione è definita come $ \log(4x^2+4x) = 2\log 2 + \logx + \log(1+x) $, e la so studiare.
a questo punto mancano i punti $ 0 $ e $ 4 $...
qui la cosa si fa un pochino più delicata di come l'ha scritta skz: è effettivamente vero che se esistono i limiti destro e sinistro delle derivate in $ x_0 $, e sono diversi, allora la funzione non è derivabile in $ x_0 $, ma questo non varrebbe se i limiti non esistessero... (cito come esempio la classica funzione derivabile con derivata non continua, cioè $ x^2\sin(1/x) $)credo che l'unico modo umano sia dimostrare che i limiti dei rapporti incrementali non esistono, ovvero fare le cose "a mano".
(en passant, esercizietto stupido: se esistono i limiti delle derivate, e coincidono, allora la funzione è derivabile?)
poi.. una funzione può essere strettamente monotona anche senza che la sua derivata sia strettamente positiva (direi che $ x^3 $ è un buon esempio)...
un'ultima cosa.. tu dici che per trovare massimi e minimi di una funzione, studi la derivata prima.. bisogna prima vedere dove è derivabile, e confrontare i valori della funzione nei suoi punti di derivabilità con quelli di non derivabilità...
esempio stupidissimo: la funzione $ |x| $ è continua, la sua derivata (dove esiste) non si annulla mai... cosa ne deduci?
qualche piccola precisazione: il fatto che la derivata della funzione "modulo" sia la funzione "segno", è un tantinello impreciso...
anche se, effettivamente, è comodo vederla così, però bisogna starci attenti.
sosuke, la cosa che "ufficialmente" il tuo professore vuole che tu faccia è dire più o meno la seguente cosa:
$ |a| = a $ se $ a>0 $, quindi studio dove l'argomento del modulo è positivo (quindi $ 0<x<4 $), e lì la mia funzione è definita come $ \log(2x^2 + 4x) = \log 2 + \log x + \log (1+2x) $, e la so studiare.
$ |a| = -a $ se $ a<0 $, quindi studio dove l'argomento del modulo è negativo ($ x<0>4 $), e lì la mia funzione è definita come $ \log(4x^2+4x) = 2\log 2 + \logx + \log(1+x) $, e la so studiare.
a questo punto mancano i punti $ 0 $ e $ 4 $...
qui la cosa si fa un pochino più delicata di come l'ha scritta skz: è effettivamente vero che se esistono i limiti destro e sinistro delle derivate in $ x_0 $, e sono diversi, allora la funzione non è derivabile in $ x_0 $, ma questo non varrebbe se i limiti non esistessero... (cito come esempio la classica funzione derivabile con derivata non continua, cioè $ x^2\sin(1/x) $)credo che l'unico modo umano sia dimostrare che i limiti dei rapporti incrementali non esistono, ovvero fare le cose "a mano".
(en passant, esercizietto stupido: se esistono i limiti delle derivate, e coincidono, allora la funzione è derivabile?)
poi.. una funzione può essere strettamente monotona anche senza che la sua derivata sia strettamente positiva (direi che $ x^3 $ è un buon esempio)...
un'ultima cosa.. tu dici che per trovare massimi e minimi di una funzione, studi la derivata prima.. bisogna prima vedere dove è derivabile, e confrontare i valori della funzione nei suoi punti di derivabilità con quelli di non derivabilità...
esempio stupidissimo: la funzione $ |x| $ è continua, la sua derivata (dove esiste) non si annulla mai... cosa ne deduci?
Ehm.. onestamente non ne deduco niente... non ho capito bene... 
Allora... andiamo per ordine che sono un pò confuso
....
Innanzitutto mi scuso perchè non riesco a mettere le immagini....
Se ho capito bene devo fare quanto segue:
1) Prima di derivare mi studio il valore assoluto e riscrivo le funzioni.. prendendo l'esempio della funzione vista fin'ora f(x) = log [3x^2 + |4x - x^2|] diventa
per x € ]0,4] -> f(x) = log [ 2x^2 + 4x ]
per x € ]-oo,0[ U ]4,+oo[ -> f(x) = log[4x^2 - 4x]
Le due nuove funzioni non esistono quindi solo quando x = 0... di conseguenza x = 4 non rappresenta più nessun problema... o forse ho sbagliato in qualche punto?
2) A questo punto faccio le due derivate e vengono:
f(x) = log [ 2x^2 + 4x ] - > [2(x+1)] / [x^2 + 2x]
f(x) = log [ 4x^2 - 4x ] - > (2x - 1) / (x^2 - x)
(Esattamente come dice skZ... le derivate sono le stesse....)
3) Ora dovrei calcolare gli intervalli di stretta monotonia... solitamente facevo come ha detto skZ.. cioè vedendo se f' era > o < di 0. Ma come dice giustamente ma_go "una funzione può essere strettamente monotona anche senza che la sua derivata sia strettamente positiva (direi che x^3 è un buon esempio)..."
A questo punto come calcolo la stretta monotonia?
4) Per quanto mi è sembrato di capire prima di studiare il massimo e il minimo (come dice ma_go) "bisogna prima vedere dove è derivabile, e confrontare i valori della funzione nei suoi punti di derivabilità con quelli di non derivabilità... "
E questo mi è sembrato di capire che si facesse come ha fatto skZ... cioè calcolando i limiti.
5) A questo punto come calcolo il massimo e il minimo... o se ho capito bene.. forse non ce n'è???
Spero di essere stato chiaro e di aver compreso fino a qui... vi ringrazio ancora per l'aiuto che mi state dando!
Allora... andiamo per ordine che sono un pò confuso
....Innanzitutto mi scuso perchè non riesco a mettere le immagini....
Se ho capito bene devo fare quanto segue:
1) Prima di derivare mi studio il valore assoluto e riscrivo le funzioni.. prendendo l'esempio della funzione vista fin'ora f(x) = log [3x^2 + |4x - x^2|] diventa
per x € ]0,4] -> f(x) = log [ 2x^2 + 4x ]
per x € ]-oo,0[ U ]4,+oo[ -> f(x) = log[4x^2 - 4x]
Le due nuove funzioni non esistono quindi solo quando x = 0... di conseguenza x = 4 non rappresenta più nessun problema... o forse ho sbagliato in qualche punto?
2) A questo punto faccio le due derivate e vengono:
f(x) = log [ 2x^2 + 4x ] - > [2(x+1)] / [x^2 + 2x]
f(x) = log [ 4x^2 - 4x ] - > (2x - 1) / (x^2 - x)
(Esattamente come dice skZ... le derivate sono le stesse....)
3) Ora dovrei calcolare gli intervalli di stretta monotonia... solitamente facevo come ha detto skZ.. cioè vedendo se f' era > o < di 0. Ma come dice giustamente ma_go "una funzione può essere strettamente monotona anche senza che la sua derivata sia strettamente positiva (direi che x^3 è un buon esempio)..."
A questo punto come calcolo la stretta monotonia?
4) Per quanto mi è sembrato di capire prima di studiare il massimo e il minimo (come dice ma_go) "bisogna prima vedere dove è derivabile, e confrontare i valori della funzione nei suoi punti di derivabilità con quelli di non derivabilità... "
E questo mi è sembrato di capire che si facesse come ha fatto skZ... cioè calcolando i limiti.
5) A questo punto come calcolo il massimo e il minimo... o se ho capito bene.. forse non ce n'è???
Spero di essere stato chiaro e di aver compreso fino a qui... vi ringrazio ancora per l'aiuto che mi state dando!
3) la funzione è monotona se, dove la derivata prima è $ 0 $, si ha un flesso (nel senso che esiste un minimo $ k $ per cui $ f^{(k)} \neq 0 $, e tale $ k $ è dispari). quindi controlla dove la derivata di questa funzione si annulla, e cosa fa la derivata seconda (eventualmente controlla le derivate successive, ma mi pare che la seconda basti ed avanzi).
4,5) per trovare i massimi ed i minimi, controlla dove la derivata prima si annulla (e cosa fa la derivata seconda in quei punti), e poi controlla nei punti in cui la derivata non esiste.. il che vuol dire, controlla cosa fa la derivata a sinistra e a destra di quel punto.
ad esempio, consideriamo la funzione $ x \mapsto |x|+1 $ (più semplice, non ho voglia di far conti): la derivata per $ x<0>0 $ è sempre positiva, quindi la funzione cresce, quindi $ 0 $ è punto di minimo, e il minimo (assoluto) della funzione è $ 1 $.
la tua funzione è un minimo più complessa, ma il concetto è lo stesso.
per i massimi e minimi globali, invece, devi anche controllare agli estremi del dominio (quindi in $ 0, \pm \infty $, nel nostro caso).
se hai bisogno di altri chiarimenti... non farmi fare conti, però
4,5) per trovare i massimi ed i minimi, controlla dove la derivata prima si annulla (e cosa fa la derivata seconda in quei punti), e poi controlla nei punti in cui la derivata non esiste.. il che vuol dire, controlla cosa fa la derivata a sinistra e a destra di quel punto.
ad esempio, consideriamo la funzione $ x \mapsto |x|+1 $ (più semplice, non ho voglia di far conti): la derivata per $ x<0>0 $ è sempre positiva, quindi la funzione cresce, quindi $ 0 $ è punto di minimo, e il minimo (assoluto) della funzione è $ 1 $.
la tua funzione è un minimo più complessa, ma il concetto è lo stesso.
per i massimi e minimi globali, invece, devi anche controllare agli estremi del dominio (quindi in $ 0, \pm \infty $, nel nostro caso).
se hai bisogno di altri chiarimenti... non farmi fare conti, però
Perdonami ma sono un pò negato in matematica.. sono stato rimandato già 3 volte e a settembre mi accingo a riprovare per la quarta volta l'esame....
Allora ho cercato i punti in cui la derivata prima si annulla e non ne ho trovati o meglio li trovo i punti ma sono fuori dal loro dominio di esistenza... Quindi forse non li devo considerare?
E quindi come la trovo la monotonia?
Allora ho cercato i punti in cui la derivata prima si annulla e non ne ho trovati o meglio li trovo i punti ma sono fuori dal loro dominio di esistenza... Quindi forse non li devo considerare?
E quindi come la trovo la monotonia?
allora, la derivata non si annulla mai*, quindi se ci sono minimi, sono nei punti di non derivabilità.
ma in $ x=0 $ c'è un asintoto (che va a $ -\infty $ da entrambe le parti), quindi il minimo assoluto non c'è (o, se vuoi, è $ -\infty $, ma è un estremo inferiore, non un minimo). ora, $ x=4 $: la derivata è positiva sia a destra, sia a sinistra, quindi la funzione è crescente, quindi non è punto di minimo.
il massimo assoluto è $ +\infty $.
inoltre, la funzione è sempre strettamente monotona, visto che la derivata non si annulla mai, ed è monotona crescente per $ x>0 $, mentre è monotona decrescente per $ x<0 $.
* non è che gli zeri siano fuori del dominio di definizione, è che tu ti stai restringendo a considerare le due funzioni ausiliarie (quelle senza i moduli) in due intervalli dove le derivate non si annullano, quindi la tua funzione originaria (che vedi come incollamento delle due ausiliarie) ha una derivata (dove c'è) mai nulla.
EDIT: uhm.. inquietante il fatto che si sia mangiato una stringa che ero certo di aver digitato... ora dovrebbe andare, scusate il casino
ma in $ x=0 $ c'è un asintoto (che va a $ -\infty $ da entrambe le parti), quindi il minimo assoluto non c'è (o, se vuoi, è $ -\infty $, ma è un estremo inferiore, non un minimo). ora, $ x=4 $: la derivata è positiva sia a destra, sia a sinistra, quindi la funzione è crescente, quindi non è punto di minimo.
il massimo assoluto è $ +\infty $.
inoltre, la funzione è sempre strettamente monotona, visto che la derivata non si annulla mai, ed è monotona crescente per $ x>0 $, mentre è monotona decrescente per $ x<0 $.
* non è che gli zeri siano fuori del dominio di definizione, è che tu ti stai restringendo a considerare le due funzioni ausiliarie (quelle senza i moduli) in due intervalli dove le derivate non si annullano, quindi la tua funzione originaria (che vedi come incollamento delle due ausiliarie) ha una derivata (dove c'è) mai nulla.
EDIT: uhm.. inquietante il fatto che si sia mangiato una stringa che ero certo di aver digitato... ora dovrebbe andare, scusate il casino
Ultima modifica di ma_go il 06 ago 2006, 21:36, modificato 2 volte in totale.
infatti l'ho precisato e poi ho riscritto la derivata nel modo corretto. Usare il segno come derivata del modulo e' un comodo escamotage per velocizzare i conti, anche se il metodo matematicamente piu' corretto e' cercare i punti in cui l'argomento del modulo cambia segno e studiare la funzione sugli intervalli che hanno tali punti per estremi e che non li contengono (ovvero che contengono tali punti solo sulla frontiera, cosi' evitiamo le puntualizzazioniSkZ ha scritto:(lo so che non e' propriamente corretto porre la funzione segno come derivata del modulo, ma in prima approssimazione spero che vada bene)
).L'esistenza dei limiti destro e sinistro della derivata e la loro uguaglianza e' condizione neccesaria, ma non sufficiente per la derivabilita'. Ergo se la condizione non e' soddisfatta, cio' e' sufficiente per la non derivabilita'.
per la monotonia stretta, per quanto riguarda le funzioni che tu puoi incontrare, si puo' dire che una funzione continua e derivabile in $ D\subseteq\mathbb{R} $ e' strettamente monotona se $ \forall x\in D \quadallora\quad f'(x)\geq 0 \;\vee f'(x)\leq 0 $ e dati $ x_1<x_2\; :\; f'(x_1)=f'(x_2)=0 \Rightarrow \exists \bar{x}\in ]x_1;x_2[\; : \; f'(\bar{x})\neq 0 $, oppure se l'insieme dei punti in cui la derivata si annulla e' numerabile (su quest'ultima affermazione non sono del tutto sicuro, ma a occhio sembrerebbe)
ps: per inserire le formule devi usare il $ \LaTeX $. per impararlo in questo topic http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=3147 sono segnalate due ottime guide (io ho imparato con la seconda)
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sì, è quello che ho detto anch'io.. solo che probabilmente il loro professore non la prenderebbe di buon grado... tutto qui.SkZ ha scritto:infatti l'ho precisato e poi ho riscritto la derivata nel modo corretto. Usare il segno come derivata del modulo e' un comodo escamotage per velocizzare i conti (...)
uhm... direi che non è una condizione necessaria...L'esistenza dei limiti destro e sinistro della derivata e la loro uguaglianza e' condizione neccesaria, ma non sufficiente per la derivabilita'. Ergo se la condizione non e' soddisfatta, cio' e' sufficiente per la non derivabilita'.
e ripropongo qui la mia questioncina en passant, che veloce, ma simpatica ed interessante, tutto sommato... (ovvero, è condizione sufficiente?).
riguardo alle ultime affermazioni.. dovrei pensarci un pochino.. magari più tardi..
Perdonami ma non mi è chiaro questo punto.. ho fatto i calcolima_go ha scritto: inoltre, la funzione è sempre strettamente monotona, visto che la derivata non si annulla mai, ed è monotona decrescente per $ x<0>0 $.
con $ x=-2 $ -> $ f(x) =1.3 $
con $ x=2 $ -> $ f(x) = 1.2 $ quindi decresce...
con $ x=4 $ -> $ f(x) = 1.6 $ da qui in poi cresce.....
non riesco proprio a capire.... mi dispiace...
In $ x=0 $ la funzione non è derivabile... anche se però in $ x=0 $la funzione non esiste?
e poi.. ho provato a calcolare il limite destro con x che tende a 0 e a me risulta $ \ + inf $
Qui di seguito i calcoli:
$ $ lim_{x rightarrow 0^-} \frac {2(x+1)}{x^2 + 2x} = \ + inf $
con
$ x=0.5 $ -> $ $ lim = 2.4 $
$ x=0.1 $ -> $ $ lim = 10.47 $
$ x=0.01 $ -> $ $ lim = 100.49 $
Quindi questo dovrebbe essere un cuspide(lim sinistro =$ \ - inf $, lim destro =$ \ + inf $!!!!!
Un punto di non derivabilità può combaciare con un estremo relativo???
x=0 è anche un punto di estremo relativo?
e poi.. ho provato a calcolare il limite destro con x che tende a 0 e a me risulta $ \ + inf $
Qui di seguito i calcoli:
$ $ lim_{x rightarrow 0^-} \frac {2(x+1)}{x^2 + 2x} = \ + inf $
con
$ x=0.5 $ -> $ $ lim = 2.4 $
$ x=0.1 $ -> $ $ lim = 10.47 $
$ x=0.01 $ -> $ $ lim = 100.49 $
Quindi questo dovrebbe essere un cuspide(lim sinistro =$ \ - inf $, lim destro =$ \ + inf $!!!!!
Un punto di non derivabilità può combaciare con un estremo relativo???
x=0 è anche un punto di estremo relativo?
Ultima modifica di Sosuke il 07 ago 2006, 01:07, modificato 6 volte in totale.