OliForum Matematico

Uffa .. ma se vi fate le prediche a vicenda, io cosa sto qui a fare??
Btw, Ponnamperuma ha ragione... jordan e wolverine, visto che entrambi mi sembrate fuori età per le oli, leggete qui (non per i problemi scolastici, ma per il ruolo degli universitari nel forum).

premetto che nel problem solving sono una cippa, e penso ve ne siate
accorti

Allora, vi saranno $ \displaystyle \frac{n^2}{2} $ coppie di termini
reciproci (il denominatore puo' essere scelto tra $ n $ termini, il
numeratore pure, quindi $ n^2 $ termini di cui ognuno ha un reciproco). Per
semplicità $ f(x) = a \mbox{ e } f(y) = b $, bene sommiamo questi termini
tra di loro, vogliamo sapere quando sono maggiori di 2.

$ \displaystyle \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab} \geq 2 \Leftrightarrow \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} \geq 0 $
$ \displaystyle \frac{(a-b)^2}{ab} \geq 0 $

Il numeratore è sempre positivo (è un quadrato!) il denominatore pure,
poichè a e b sono sempre positivi, quindi la relazione è sempre
verificata.

Ma quindi la sommatoria dei nostri $ \displaystyle \frac{n^2}{2} $
termini sarà almeno:

$ \displaystyle \sum_{x,y \in S}\frac{f(x)}{f(y)}\geq \frac{n^2}{2} \cdot 2 $

spero di non aver preso un abbaglio.
ci voleva proprio un problema prima di andare a letto

Mi pare giusto però secondo me dovresti separare gli n $ $ \frac{f(x)}{f(x)} $ $dalle $ $ n \choose 2 $ $ coppie. La risoluzione è uguale.

Poi però spiegaci perchè a un certo punto le a e le b sono diventate x e y

albert_K ha scritto:Mi pare giusto però secondo me dovresti separare gli n $ $ \frac{f(x)}{f(x)} $ $dalle $ $ n \choose 2 $ $ coppie. La risoluzione è uguale.

Poi però spiegaci perchè a un certo punto le a e le b sono diventate x e y

Sì in effetti ci avevo pensato a dividere i casi, comunque il reciproco di 1 è 1 quindi non credo ci dovrebbero essere problemi formali, o no?

le a e b sono diventate y e x perchè nel foglio avevo scritto x al posto di f(x) e y al posto di f(y) cosa che qui non potevo lasciare e nel copiare ... ora sistemo.

il problema è che non ci sono proprio n²/2 elementi che valgono almeno 2, ma: n elementi che valgono 1 e n(n-1)/2 elementi che valgono almeno 2.

Ehm... Coff coff coff....

AM-GM?

Essendo un esercizio facile (ci sono riuscito persino io, dopo un anno e mezzo di "stop olimpico"!) può essere utile per imparare tecniche diverse. Per dire, potreste tentare un'induzione, magari più laboriosa, però deve funzionare. Oppure... non so!