problema di prima media

[ilariailaria]

Ciao a tutti, non vorrei essere fuori posto ma avrei bisogno di un aiutino su un problema di aritmetica che non riesco a svolgere.
La spesa per il noleggio di un pulman è di € 1.120,00. La quota per gli adulti è di € 28,00, quella per i ragazzi è di € 16,00. Quanti sono gli adulti e quanti i ragazzi???
Grazie a tutti per per l'eventuale aiuto
Ilaria

[fede90]

(non credo che questo sia il posto giusto per postare un problema del genere....)

comunque il tuo problema, così formulato (e sempre che io l'abbia capito bene), non ha un'unica soluzione...
le soluzioni sono (trovate con python)

0 70
4 63
8 56
12 49
16 42
20 35
24 28
28 21
32 14
36 7
40 0

[ilariailaria]

Grazie tantissimo Fede 90 ma puoi svelarmi anche come sei riuscito a risolvere il problema??????
Saluti a tutti

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

si tratta di risolvere l'equazione diofantea $ 7x + 4y = 280 $
per farlo basta trovare una soluzione di $ 7x + 4y = 1 $ a occhio $ x=-1 $ e $ y=2 $, moltiplicarla per 280 e aggiungerci la soluzione dell'omogenea $ 7x' + 4y' = 0 $ che è $ x' = 4k $ e $ y' = -7k $.
Quindi $ x = - 280 + 4k $ e $ y = 560 - 7k $ che ha entrambe le soluzioni non negative per k da 70 a 80.

[alexba91]

si tratta di risolvere l'equazione diofantea $ 7x + 4y = 280 $
per farlo basta trovare una soluzione di $ 7x + 4y = 1 $ a occhio $ x=-1 $ e $ y=2 $, moltiplicarla per 280 e aggiungerci la soluzione dell'omogenea $ 7x' + 4y' = 0 $ che è $ x' = 4k $ e $ y' = -7k $.
Quindi $ x = - 280 + 4k $ e $ y = 560 - 7k $ che ha entrambe le soluzioni non negative per k da 70 a 80.

la tua soluzione è motlo bella ma dubito che in prima media conoscano una diofantea
anche se non vedo altro modo per risolvere il problema.

[gianmaria]

Secondo me, o Ilariailaria o il suo libro hanno dimenticato un dato, probabilmente il numero totale di partecipanti. Se per esempio questo fosse stato 64, il ragionamento sarebbe stato: se ci fossero solo ragazzi, la spesa sarebbe 64*16,00 e il di più è dovuto agli adulti, quindi....
In assenza di questo dato vi sono effettivamente molte soluzioni; possono essere trovate anche a livello di prima media con questo ragionamento: se ci sono n ragazzi, la loro spesa totale è 16*n; gli adulti spendono quindi in totale 1120-16*n, che deve essere divisibile per 28. Diamo ora ad n tutti i valori possibili fra 0 e 70 (=1120:16) e vediamo in quali casi si ha la divisibilità. Un foglio elettronico sveltisce molto il lavoro.

[gianmaria]

dubito che in prima media conoscano una diofantea anche se non vedo altro modo per risolvere il problema.

Un modo l'ho già indicato nel mio precedente intervento; ne aggiungo un altro a livello un po' superiore alla prima media ma certo più elementare delle diofantee e che non scomoda il computer.
Nell'equazione $ 7x+4y=280 $, il primo termine deve essere divisibile per 4 perchè lo sono gli altri due, quindi $ x=4x_1 $; analogamente, $ y=7y_1 $. Sostituendo nell'equazione e semplificando si ha $ x_1+y_1=10 $ che ammette come soluzioni intere non negative (0,10), (1,9), ..., (10,0); ne seguono i valori già indicati per x, y