OliForum Matematico

Comincio con l'avvisare che la fonte non è qualche strana gara ma giove, e poi passo al problema in sè: risolvere negli interi positivi
$ p^2-p+1=n^3 $, con p primo.

Assicuro che è molto carino e tranquillamente fattibile (anche se rifarlo una seconda volta mi ha richiesto più tempo della prima, non si capisce bene come mai )

Ciao ciao, e buon lavoro!

come al solito spero di non dire troppe cavolate data la mia scarsa competenza in tdn...ci provo

Inazitutto mi sembra doveroso studiare la natura di n:
$ \dispaystyle \\ p^2-p+1=n^3 $

-Poniamo p pari: unica possibilità: $ \dispaystyle p=2 $: ugualianza non verificata

-Poniamo p dispari: tutti i restanti primi

Pertanto p è dispari, duanque il quadrato di p è dispari che sommato a p, dispari anch'esso, dà un numero pari che sommato a 1 restituisce un numero dispari.
Conclusione: n è dispari, intero e positivo.

Ora qualche passaggio algebrico
$ \dispaystyle \\ p^2-p+1=n^3 \\ p^2-p=n^3 -1 \\ p^2-p=(n -1)(n^2+n+1) \\ p(p-1)=(n -1)(n^2+n+1) $

A questo punto possiamo costruire un sistema di equazioni

Caso 1
$ \displaystyle \\ p=n-1 $
impossibile perchè se n è dispari, sottraendo 1 otteniamo un numero pari, ma p è dispari. Pertanto per questo caso niente soluzioni.

Caso 2
$ \displaystyle \\ p=n^2+n+1 $
Sostituendo questa espressione all'equazione di partenza otteniamo (sviluppati i calcoli) un'equazione in n che non ammette soluzioni tra i gli interi positivi.
Pertanto non ci sono soluzioni.

Caso 3
$ \displaystyle \\ p-1=n^2 +n+1 \\ p=n^2 +n+2 $
impossibile dato che il qudrato di n è dispari, n anche, pertanto sommati danno un numero pari, sommando 2 ancora un pari, pertanto verrebbe p un numero pari, che è impossibile. Anche in questo caso non ci sono soluzioni.

Caso 4
$ \displaystyle \\ p-1=n-1 \\ p=n $
sostituendo nell'equazione di partenza otteniamo:
$ \displaystyle \\ n^3-n^2+n-1=0 \\ (p-1)(p^2+1)=0 \\ p-1=0 \\ p^2+1=0 $

pertanto l'ultima equzione non ammette zeri, la penultima invece ha come zero n=1, quindi p=1.

Pertanto l'unica soluzione è
$ \displaystyle \\ n=p=1 $

mmm..credo che dovresti mettere un po d'ordine alle tue idee angus: innazitutto (caso1 e caso 3)sono equivalenti così come lo sono (caso 2 e caso4), prova a capire perchè..
comunque fino alla fattorizzazione e alla disparità di n ci siamo, il problema è ke manca qualche caso
in generale se vuoi continuare sulla tua strada puoi vedere che $ n^2+n+1>n-1 $ per cui $ p|n^2+n+1 $, ma attenzione, dividere non significa essere equivalente..spero di essere stato chiaro

Btw, p=1 ??? p è primo, 1 no.

darkcrystal ha scritto:Comincio con l'avvisare che la fonte non è qualche strana gara ma giove

Beh, in realtà questo è un Balkan 2005...

EvaristeG ha scritto:Btw, p=1 ??? p è primo, 1 no.

caspita...ke vergogna...

giove ha scritto: Beh, in realtà questo è un Balkan 2005...

... bravo, già ti prepari

Ah, non bastano Salva e il Russo a gufare, ora ti ci metti anche tu?!?

Allora, prima che arrivi eucla , ci provo ancora una volta...

allora...ricominciamo dalla fattorizzazione e teniamo sempre a mente le condizioni di n e p

Allora...
$ \dispaystile \\ p(p-1)=(n-1)(n^2+n+1) \\ (n-1)(n^2+n+1) \cdot \frac{1}{p}\cdot \frac{1}{p-1} = 1 $

Allora a questo punto per evitare di ripetere gli stessi errori facciamo un pò di ordine.
Inanzitutto siamo sicuri di non aver diviso per 0 dato che p è primo e p-1 è senzaltro maggiore di zero dato che p è maggiore di 1.

Detto ciò ci sono 2 grandi casi con relativi sottocasi (certo che le idee riesco ad esprimerle in modo fantastico )
Va bè ironia a parte...

CASO 1
Abbiamo dei termini il cui prodotto è 1.
Pertanto tutti i termini devono esser uguali a 1.
$ \dispaystyle \\ n-1=1 \\ n^2+n+1=1 \\ \frac{1}{p}=1 \\ \frac{1}{p-1}=1 $

risolvendo tutti questi casi e utilizzando le condizioni che abbiano dato di n e di p oppure riconducendoli alla condizione iniziale, otteniamo che non ci sono soluzioni, ad esempio già nel primo caso abbiamo che n è 2, impossibile dato ch n deve esser dispari.


CASO 2
Qui entra in ballo la divisibilità, ovvero che se l'espressione deve valere 1, allora necessariamente si deve semplificare e si deve verificare:
$ \dispaystyle \\ n-1=p\\ n^2+n+1=p-1 $
Si devono vericare entrambe...

Oppure (caso equivalente)
$ \dispaystyle \\ n-1=p-1\\ n^2+n+1=p $


in ogni caso otteniamo $ \dispaystyle n^2=-3 $...
Per ovvie ragioni assurdo...

Pertanto, avendo eseminato tutti i casi non esistono soluzioni

Lemma di Agnus Siano $ ~ a,b,c,d $ interi tali che $ ~ ab = cd $. Allora $ ~ a=c,b=d $ oppure $ ~ a=d,b=c $.

Non ti spiego perchè è abbastanza assurdo... se ce lo spieghi tu è meglio!
ciao

edriv ha scritto:Lemma di Agnus Siano $ ~ a,b,c,d $ interi tali che $ ~ ab = cd $. Allora $ ~ a=c,b=d $ oppure $ ~ a=d,b=c $.

Non ti spiego perchè è abbastanza assurdo... se ce lo spieghi tu è meglio!
ciao

Non c'è bisogno di scaldarsi tanto...
mi pare di aver scritto tutto con una certa umiltà, quindi ho sempre sottolineato che tutto ciò può esser assurdo e far ridere...

Comunque dato che stiamo parlando di interi...
E comunque la tua osservazione andave bene per il mio primo post...nel secondo non ho utilizzato quella cosa...

angus forse non te ne sei accorto ma hai rifatto lo stesso errore:coppie di interi diverse possono dare lo stesso risultato.Esempio:10*2=5*4.Il problema con quell'impostazione sta proprio in questo terzo caso che non hai preso in analisi:prevede riflessioni di divisibilità e non solo operazioni algebriche.

Certamente l'umiltà è molto apprezzata, e scusa se manco di questa dote. Spero mi scuserai se ho esagerato prima perchè se continuo a rispondere male a tutti gli utenti che provano i problemi del forum, creo veramente un problema io, cioè che qualcuno potrebbe avere paura a postare una soluzione, mentre andrebbe assolutamente incoraggiato, e se per caso c'è qualche errore, beh, sbagliando simpara, no? comunque io non sono per niente la persona adatta a far notare quanto più delicatamente possibile l'errore in una soluzione, perchè non saprei farlo delicatamente [e farlo delicatamente è senz'altro necessario, no?] e nemmeno non saprei spiegare in modo chiaro l'errore, a prova di questo è il fatto che prima non ho nemmeno cercato di farlo ed ho imposto di farlo a te, sempre ammesso che un errore ci sia, no? Mi dispiace abbastanza di questa storia... spero di poter cambiare... ma non è detto che io possa riuscirci a farlo. (comunque un noto teorista dei numeri del forum mi dice che l'equazione è assurda modulo 1)

va bè dai non è necessario farne una tragedia...

comunqe sò che è assurdo il "lemma di angus", che ho erroneamente utilizzato nella prima dimostrazione.

Invece riprendo velocemnte la seconda

$ \dispaystile \\ p(p-1)=(n-1)(n^2+n+1) \\ (n-1)(n^2+n+1) \cdot \frac{1}{p}\cdot \frac{1}{p-1} = 1 $

fin qui siamo daccordo?
E' lecito?
Bene...
ora abbiamo una serie di termini, sappiamo che il loro prodotto è 1.
Questo lo ritengo fondamentale.
Da qui nascono i due casi...
Ovvero:
o tutti i termini sono 1
oppure alcuni termini che sono al numeratore della frazione sono uguali ad alcuni che sono al denominatore(per semplificare)

Tutto ciò per ottenere 1 come prodotto...

Non mi sembra di aver utilizzato il lemma di angus...

un esempio più banale potrebbe essere

$ \displaystyle a \cdot b = 1 $

con a e b interi l'unica soluzione è

$ \displaystyle a=b=1 $

oppure come capita nel problema

$ \displaystyle a \cdot \frac{1}{b} = 1 $

dove le soluzioni sono
$ \displaystyle a= \frac{1}{b}=1 $
oppure
$ \displaystyle b=a $

Ecco quello che ho utilizzato nella seconda dimostrazione

angus89 ha scritto:oppure alcuni termini che sono al numeratore della frazione sono uguali ad alcuni che sono al denominatore(per semplificare)

Il problema sta qua, perchè lo usi il lemma. $ $\frac{4\cdot 15}{10\cdot 6}=1 $ eppure nessun termine del numeratore è uguale ad uno del denominatore.