Cardinalità e insiemi delle parti

[Mondo]

Sia $ P^{(n)}(A) $ la famiglia dei sottoinsiemi di $ A $ con $ n $ elementi e sia $ A $ un insieme infinito.
Dimostrare che $ |A|^{n}\succeq |P^{(n)}(A)| $

[jordan]

essendo entrambi i membri insiemi infiniti, è sufficiente supporre che la cardinalità di A sia molto maggiore di n?
anche se a me sembra piu da mne

[phi]

anche se a me sembra piu da mne

Mmmmh anche a me. Meglio metterlo lì.

[EvaristeG]

E ora che è qui:
$ |A|^n=|A| $ per ogni n, se A è infinito.
$ |P^{(n)}(A)|=|\{f:\{1,\ldots,n\}\to A\}|=|A|^{|\{1,\ldots,n\}|}=|A|^n=|A| $.
Quindi la tesi segue...anzi, son sempre uguali.

[jordan]

premetto che diro una cavolata..

ma se poniamo che $ |A|=k>>n $ allora $ k^n \ge \binom{k}{n} $, cioè $ n! k^n \ge k (k-1) ... (k-n+1) $ che all'infinito sono entrambi dell'ordine di $ k^n $ ma il primo membro è "maggiore" in quanto è presente anche quell'n!..

[EvaristeG]

A è infinito....

[jordan]

lo so che è infinito
intendevo passando al limite, quello che ho detto perde di significato?

[pic88]

Direi che è "passando al limite" a non avere significato

[pic88]

Comunque, come si dimostra che $ {|A|^n =|A|} $ per A infinito? io so farlo solo per i naturali e i reali...

[EvaristeG]

Beh, considera le coppie $ (B,f) $ con $ B\subseteq A $ e $ f:B\to B\times B $ una bigezione.
C'è un ordinamento parziale dato da
$ (B,f)\leq (B',f') $ se $ B\subseteq B' $ e $ f=f'\vert_B $.
(Sapendolo fare per N, sai che l'insieme di queste coppie non è vuoto)
Per Zorn hai un elemento massimale $ (C,g) $...ora ti basta mostrare che se $ C\neq A $ allora quello non è massimale.