OliForum Matematico

Curiosando nel forum, piu' precisamente qui, mi sono imbattuto in una dimostrazione brillantissima (ma purtroppo errata) del classico teorema del panino al prosciutto e formaggio. L'errore (come prontamente osservato da EvaristeG) stava nell'affermazione "se P e' il baricentro di un solido X, allora ogni piano passante per P divide X in due parti di ugual volume". Questo mi sugerisce il seguente problemino, molto facile ma (forse) anche un po' istruttivo:

Sia T un triangolo nel piano $ \pi $. Allora non esiste nessun punto $ P\in \pi $ con la proprieta' che qualsiasi retta per $ P $ divida T in due parti di uguale area.

(per inciso, questo implica l'affermazione fatta sopra per i solidi: basta considerare un prisma a base triangolare e il fascio di piani per una retta ortogonale alla base)

Poichè in geometria sono un ciuccio cronico vi prego di non brutalizzarmi nel caso dica castronerie
Noto che se P fosse esterno a T,esisterebbe almeno un lato di T tale che la parallela di esso per P risulterebbe esterna a T.Dunque P è interno a T.chiamiamo A,B,C i vertici di T. Ora prendiamo la retta cui appartiene AP.prolunghiamola fino ad BC chiamando D il punto di intersezione con BC.Chiamando H l'altezza dal vertice A a BC si ha:DB*H=DC*H,dunque DB=DC.Quindi ripetendo il ragionamento per gli altri due casi:P è baricentro.Tracciamo la parallela a BC passante per P,chiamando E e F i rispettivi punti di intersezione coi lati.Chiamiamo la perpendicolare per P di BC, PK, e quella per A di EF, AH.Abbiamo che PK=AH*1/2 ma sapendo che EF=2/3BC,svolgendo l'area del trapezio e del triangolo si ha (BC+2/3BC)AH 1/2=2/3BC*AH,assurdo.Non consideriamo il fatto che P può stare su uno dei lati perchè comporta vari assurdi tra cui quello che un lato di un triangolo divide il triangolo in due superfici equivalenti.
In effetti se quanto dico è giusto deve essere alquanto facilotto.