triangolo bocconi a parigi (ultimo probl credo)
triangolo bocconi a parigi (ultimo probl credo)
un triangolo rettangolo ha i tre lati interi e si sa che il raggio della circonferenza interna e tangente ai tre lati misura 3. quanto misurano i lati?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Ci provo.
Sia il triangolo rettangolo ABC, con AB<AC<BC, e siano P,Q,R i punti di tangenza della circonferenza rispettivamente ad AC, AB e BC. Per il teorema delle tangenti si ha che: AP=AQ=3 CP=CR=x BQ=BR=y, con x e y interi naturali. Per il teorema di Pitagora abbiamo che: (3+x)^2 +(3+y)^2 = (x+y)^2 . Sviluppando i quadrati e semplificando si ottiene l'equazione: 3x+3y=xy-9 di cui bisogna determinare le soluzioni naturali. Dato che xy deve essere necessariamente multiplo di tre e tre è primo, o x o y deve essere multiplo di 3; supponiamo che sia x (tanto x e y si possono scambiare), quindi x=3a. Sostituendo e dividendo per 3: 3a+y=ay-3.
Quindi y(a-1) deve essere divisibile per tre.
Se y=3b: a+b=ab-1 => (a-1)(b-1)=2
Quindi a-1=1 e b-1=2 o viceversa. Comunque se a=2 e b=3 si a x=6 e b=y e quindi AB=9, AC=12 e BC=15.
Se a-1=3b => 9b+3+y=3by+y-3 => b(y-3)=2. E, di nuovo, b=1 e y=5 o b=2 e y=4. Nel primo caso AB=8, AC=15 e BC=17; nel secondo AB=7, AC=24 e BC=25.
Scusate i simboli matematici un po' rozzi, ma non ho ancora imparato a usare la TeX.
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Sia il triangolo rettangolo ABC, con AB<AC<BC, e siano P,Q,R i punti di tangenza della circonferenza rispettivamente ad AC, AB e BC. Per il teorema delle tangenti si ha che: AP=AQ=3 CP=CR=x BQ=BR=y, con x e y interi naturali. Per il teorema di Pitagora abbiamo che: (3+x)^2 +(3+y)^2 = (x+y)^2 . Sviluppando i quadrati e semplificando si ottiene l'equazione: 3x+3y=xy-9 di cui bisogna determinare le soluzioni naturali. Dato che xy deve essere necessariamente multiplo di tre e tre è primo, o x o y deve essere multiplo di 3; supponiamo che sia x (tanto x e y si possono scambiare), quindi x=3a. Sostituendo e dividendo per 3: 3a+y=ay-3.
Quindi y(a-1) deve essere divisibile per tre.
Se y=3b: a+b=ab-1 => (a-1)(b-1)=2
Quindi a-1=1 e b-1=2 o viceversa. Comunque se a=2 e b=3 si a x=6 e b=y e quindi AB=9, AC=12 e BC=15.
Se a-1=3b => 9b+3+y=3by+y-3 => b(y-3)=2. E, di nuovo, b=1 e y=5 o b=2 e y=4. Nel primo caso AB=8, AC=15 e BC=17; nel secondo AB=7, AC=24 e BC=25.
Scusate i simboli matematici un po' rozzi, ma non ho ancora imparato a usare la TeX.
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